题目
(4)设 =[ y+ln (x+1)] dx+(x+1-(e)^y)dy, 则 U(x,y)= () .-|||-(A) (int )_(0)^xln (x+1)dx+(int )_(0)^y(x+1-(e)^y)dy-|||-(B) (int )_(0)^x[ y+ln (x+1)] dx+(int )_(0)^y(x+1-(e)^y)dy-|||-(C) (int )_(0)^x[ x+ln (x+1)+(x+1-(e)^y)] dx-|||-D) (int )_(0)^x[ y+ln (y+1)+y+1-(e)^y] dy
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分路径
为了找到 $U(x,y)$，我们需要对 $dU$ 进行积分。由于 $dU$ 是一个全微分，我们可以选择从原点 $(0,0)$ 到 $(x,y)$ 的路径进行积分。这里，我们选择先沿 $x$ 轴移动，然后沿 $y$ 轴移动。
步骤 2：沿 $x$ 轴积分
首先，我们沿 $x$ 轴从 $(0,0)$ 到 $(x,0)$ 积分。此时，$y=0$，因此 $dU$ 变为 $dU=[\ln (x+1)] dx$。积分得到：
$$
U(x,0) = \int_{0}^{x} \ln (x+1) dx
$$
步骤 3：沿 $y$ 轴积分
接下来，我们沿 $y$ 轴从 $(x,0)$ 到 $(x,y)$ 积分。此时，$x$ 是常数，因此 $dU$ 变为 $dU=(x+1-{e}^{y})dy$。积分得到：
$$
U(x,y) = U(x,0) + \int_{0}^{y} (x+1-{e}^{y}) dy
$$
将 $U(x,0)$ 代入，得到：
$$
U(x,y) = \int_{0}^{x} \ln (x+1) dx + \int_{0}^{y} (x+1-{e}^{y}) dy
$$
为了找到 $U(x,y)$，我们需要对 $dU$ 进行积分。由于 $dU$ 是一个全微分，我们可以选择从原点 $(0,0)$ 到 $(x,y)$ 的路径进行积分。这里，我们选择先沿 $x$ 轴移动，然后沿 $y$ 轴移动。
步骤 2：沿 $x$ 轴积分
首先，我们沿 $x$ 轴从 $(0,0)$ 到 $(x,0)$ 积分。此时，$y=0$，因此 $dU$ 变为 $dU=[\ln (x+1)] dx$。积分得到：
$$
U(x,0) = \int_{0}^{x} \ln (x+1) dx
$$
步骤 3：沿 $y$ 轴积分
接下来，我们沿 $y$ 轴从 $(x,0)$ 到 $(x,y)$ 积分。此时，$x$ 是常数，因此 $dU$ 变为 $dU=(x+1-{e}^{y})dy$。积分得到：
$$
U(x,y) = U(x,0) + \int_{0}^{y} (x+1-{e}^{y}) dy
$$
将 $U(x,0)$ 代入，得到：
$$
U(x,y) = \int_{0}^{x} \ln (x+1) dx + \int_{0}^{y} (x+1-{e}^{y}) dy
$$