题目
设f(x)=}e^x(cos x+sin x)&x>02x+a&xleq0在x=0处连续，则a=（____）
设$f(x)=\begin{cases}e^{x}(\cos x+\sin x)&x>0\\2x+a&x\leq0\end{cases}$在$x=0$处连续，则a=（____）
题目解答
答案
为了确定使得函数 $ f(x) $ 在 $ x = 0 $ 处连续的 $ a $ 的值，我们需要确保 $ f(x) $ 在 $ x = 0 $ 处的左极限等于右极限，且等于 $ f(0) $。
函数 $ f(x) $ 定义为：
\[ f(x) = \begin{cases} e^x (\cos x + \sin x) & \text{如果 } x > 0 \\ 2x + a & \text{如果 } x \leq 0 \end{cases} \]
首先，我们找到 $ f(x) $ 在 $ x = 0 $ 处的右极限。当 $ x $ 从右侧接近 0 时，我们使用分段函数的第一部分：
\[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} e^x (\cos x + \sin x) \]
将 $ x = 0 $ 代入表达式，我们得到：
\[ e^0 (\cos 0 + \sin 0) = 1 \cdot (1 + 0) = 1 \]
因此，右极限是 1。
接下来，我们找到 $ f(x) $ 在 $ x = 0 $ 处的左极限。当 $ x $ 从左侧接近 0 时，我们使用分段函数的第二部分：
\[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (2x + a) \]
将 $ x = 0 $ 代入表达式，我们得到：
\[ 2 \cdot 0 + a = a \]
因此，左极限是 $ a $。
为了使函数在 $ x = 0 $ 处连续，左极限必须等于右极限，且等于 $ f(0) $。由于 $ f(0) = 2 \cdot 0 + a = a $，我们需要：
\[ a = 1 \]
因此，$ a $ 的值是 $\boxed{1}$。
解析
考查要点：本题主要考查函数在分段点处的连续性条件，需要理解连续性的定义，并能正确计算左右极限。
解题核心思路：函数在$x=0$处连续需满足左极限等于右极限且等于函数值$f(0)$。因此，分别计算$x \to 0^+$时的右极限和$x \to 0^-$时的左极限，再令两者相等即可求出$a$的值。
破题关键点：
- 右极限：直接代入$x=0$到$x>0$的表达式中。
- 左极限：直接代入$x=0$到$x \leq 0$的表达式中。
- 连续性条件：将左右极限与$f(0)$联立求解$a$。
步骤1：计算右极限
当$x \to 0^+$时，使用$x>0$的表达式$f(x)=e^{x}(\cos x + \sin x)$，代入$x=0$：
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = e^{0}(\cos 0 + \sin 0) = 1 \cdot (1 + 0) = 1.$
步骤2：计算左极限
当$x \to 0^-$时，使用$x \leq 0$的表达式$f(x)=2x + a$，代入$x=0$：
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = 2 \cdot 0 + a = a.$
步骤3：应用连续性条件
函数在$x=0$处连续，需满足：
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0).$
已知$f(0) = 2 \cdot 0 + a = a$，因此联立方程：
$a = 1.$