题目
容积为 的长方体, 其长、宽、高分别为 。利用条件极值(Lagrange乘数法), 求表面积最小值时, Lagrange函数为( ).A .B .C .D .
容积为 
的长方体, 其长、宽、高分别为
。利用条件极值(Lagrange乘数法), 求表面积最小值时, Lagrange函数为( ).
A .
B .
C .
D .
题目解答
答案
为了解决这个问题，
需要设置正确的目标函数和约束条件。
目标是最小化长方体的表面积，而约束条件是保持长方体的体积为
目标函数
长方体的表面积 
是由各个面的面积之和给出的，即：
约束条件
长方体的体积 
必须等于 ，因此：
拉格朗日乘数法用于寻找多变量函数在一组约束下的极值。拉格朗日函数
通常设为：
根据以上设定：
- 目标函数是最小化表面积
- 约束条件是体积 
因此，拉格朗日函数设为：
对应的选项是：
C .
因此，正确答案是 C
解析
步骤 1：确定目标函数和约束条件
目标是最小化长方体的表面积，而约束条件是保持长方体的体积为
步骤 2：设置目标函数
长方体的表面积 是由各个面的面积之和给出的，即：
S=2(xy+yz+xz)
步骤 3：设置约束条件
长方体的体积 必须等于 ，因此：
$V=xyz={a}^{3}$
步骤 4：设置拉格朗日函数
拉格朗日函数 通常设为：
$[ (x,y,z,\lambda )=$ 目标函数 $+\lambda x$ (约束条件)
步骤 5：确定拉格朗日函数
根据以上设定：
- 目标函数是最小化表面积S=2(xy+yz+xz)
- 约束条件是体积 $xyz={a}^{3}$
因此，拉格朗日函数设为：
$I(x,y,z,\lambda )=2(xy+yz+xz)+\lambda (xyz-{a}^{3})$
目标是最小化长方体的表面积，而约束条件是保持长方体的体积为
步骤 2：设置目标函数
长方体的表面积 是由各个面的面积之和给出的，即：
S=2(xy+yz+xz)
步骤 3：设置约束条件
长方体的体积 必须等于 ，因此：
$V=xyz={a}^{3}$
步骤 4：设置拉格朗日函数
拉格朗日函数 通常设为：
$[ (x,y,z,\lambda )=$ 目标函数 $+\lambda x$ (约束条件)
步骤 5：确定拉格朗日函数
根据以上设定：
- 目标函数是最小化表面积S=2(xy+yz+xz)
- 约束条件是体积 $xyz={a}^{3}$
因此，拉格朗日函数设为：
$I(x,y,z,\lambda )=2(xy+yz+xz)+\lambda (xyz-{a}^{3})$