题目
已知 L: x = varphi(t), y = psi(t) (alpha leq t leq beta)是一连接 A(alpha), B(beta) 两点的有向光滑曲线段，其中始点为 B(beta)，终点为 A(alpha)，则 int_(L) f(x, y), dx = ( ).A. int_(beta)^alpha f[varphi(t), psi(t)] varphi'(t), dtB. int_(alpha)^beta f[varphi(t), psi(t)] , dtC. int_(alpha)^beta f[varphi(t), psi(t)] varphi'(t), dtD. int_(beta)^alpha f[varphi(t), psi(t)] , dt
已知 $L: x = \varphi(t), y = \psi(t)$ ($\alpha \leq t \leq \beta$)是一连接 $A(\alpha), B(\beta)$ 两点的有向光滑曲线段，其中始点为 $B(\beta)$，终点为 $A(\alpha)$，则 $\int_{L} f(x, y)\, dx = (\quad)$.
A. $\int_{\beta}^{\alpha} f[\varphi(t), \psi(t)] \varphi'(t)\, dt$
B. $\int_{\alpha}^{\beta} f[\varphi(t), \psi(t)] \, dt$
C. $\int_{\alpha}^{\beta} f[\varphi(t), \psi(t)] \varphi'(t)\, dt$
D. $\int_{\beta}^{\alpha} f[\varphi(t), \psi(t)] \, dt$
题目解答
答案
A. $\int_{\beta}^{\alpha} f[\varphi(t), \psi(t)] \varphi'(t)\, dt$
解析
步骤 1：理解线积分的定义
线积分$\int_{L} f(x,y) \, dx$表示函数$f(x,y)$沿着曲线$L$的$x$方向的积分。曲线$L$由参数方程$x = \varphi(t)$和$y = \psi(t)$定义，其中$\alpha \leq t \leq \beta$。
步骤 2：将线积分转换为参数方程
根据线积分的定义，我们可以将$\int_{L} f(x,y) \, dx$表示为参数$t$的函数。由于$x = \varphi(t)$，我们有$dx = \varphi'(t) \, dt$。因此，线积分可以写成： \[ \int_{L} f(x,y) \, dx = \int_{t=\beta}^{t=\alpha} f(\varphi(t), \psi(t)) \, \varphi'(t) \, dt \] 注意到积分的极限从$\beta$到$\alpha$，因为曲线的始点是$B(\beta)$，终点是$A(\alpha)$。这意味着参数$t$从$\beta$变化到$\alpha$。
步骤 3：选择正确的答案
根据上述分析，正确答案是选项A，即： \[ \int_{\beta}^{\alpha} f[\varphi(t), \psi(t)] \varphi'(t)\, dt \]
线积分$\int_{L} f(x,y) \, dx$表示函数$f(x,y)$沿着曲线$L$的$x$方向的积分。曲线$L$由参数方程$x = \varphi(t)$和$y = \psi(t)$定义，其中$\alpha \leq t \leq \beta$。
步骤 2：将线积分转换为参数方程
根据线积分的定义，我们可以将$\int_{L} f(x,y) \, dx$表示为参数$t$的函数。由于$x = \varphi(t)$，我们有$dx = \varphi'(t) \, dt$。因此，线积分可以写成： \[ \int_{L} f(x,y) \, dx = \int_{t=\beta}^{t=\alpha} f(\varphi(t), \psi(t)) \, \varphi'(t) \, dt \] 注意到积分的极限从$\beta$到$\alpha$，因为曲线的始点是$B(\beta)$，终点是$A(\alpha)$。这意味着参数$t$从$\beta$变化到$\alpha$。
步骤 3：选择正确的答案
根据上述分析，正确答案是选项A，即： \[ \int_{\beta}^{\alpha} f[\varphi(t), \psi(t)] \varphi'(t)\, dt \]