题目
【例31】求函数f(x)=(ln|x|)/(|x-1|)sin x的间断点并指出其类型.
【例31】求函数$f(x)=\frac{\ln|x|}{|x-1|}\sin x$的间断点并指出其类型.
题目解答
答案
函数 $ f(x) = \frac{\ln|x|}{|x-1|} \sin x $ 的间断点为 $ x = 0 $ 和 $ x = 1 $。
- **在 $ x = 0 $ 处：**
当 $ x \to 0^+ $ 时，$ \ln x \to -\infty $，但 $ x \ln x \to 0 $，故
\[
\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{x \ln x}{1 - x} \cdot \frac{\sin x}{x} = 0.
\]
同理，当 $ x \to 0^- $ 时，极限也为 0。极限存在但函数无定义，为**可去间断点**。
- **在 $ x = 1 $ 处：**
当 $ x \to 1^+ $ 时，$ |x-1| = x-1 $，
\[
\lim_{x \to 1^+} f(x) = \sin 1.
\]
当 $ x \to 1^- $ 时，$ |x-1| = 1-x $，
\[
\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\sin 1.
\]
左右极限存在但不相等，为**跳跃间断点**。
**答案：**
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
\text{可去间断点:} & x = 0 \\
\text{跳跃间断点:} & x = 1 \\
\end{array}
}
\]
解析
考查要点：本题主要考查函数间断点的判断及其类型，涉及分段函数、极限计算及间断点分类。
解题核心思路：
- 确定无定义点：分母为零或对数函数内部为零的点。
- 计算左右极限：分别分析各无定义点的左右极限是否存在及是否相等。
- 判断间断类型：根据极限是否存在及是否等于函数值，确定间断点类型。
破题关键点：
- 分母为零：$|x-1|=0$对应$x=1$。
- 对数函数无定义：$\ln|x|$在$x=0$处无定义。
- 极限计算技巧：利用等价无穷小（如$x \to 0$时$\sin x \sim x$）和泰勒展开分析极限。
间断点定位
- 分母为零：当$|x-1|=0$时，$x=1$，此时函数无定义。
- 对数函数无定义：当$|x|=0$时，$x=0$，此时$\ln|x|$无意义。
间断点类型分析
$x=0$处
- 左右极限计算：
- 当$x \to 0^+$时，$\ln x \to -\infty$，但$x \ln x \to 0$（因$x$趋近于0的速度更快）。
- 当$x \to 0^-$时，$\ln|x| = \ln(-x)$，同理$(-x)\ln(-x) \to 0$。
- 极限结果：
$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{\ln|x|}{|x-1|} \sin x = 0$ - 结论：极限存在但函数无定义，为可去间断点。
$x=1$处
- 左右极限计算：
- 当$x \to 1^+$时，$|x-1|=x-1$，$\ln|x| \approx x-1$，故：
$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{x-1}{x-1} \sin x = \sin 1$ - 当$x \to 1^-$时，$|x-1|=1-x$，$\ln|x| \approx x-1$，故：
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \frac{x-1}{-(1-x)} \sin x = -\sin 1$
- 当$x \to 1^+$时，$|x-1|=x-1$，$\ln|x| \approx x-1$，故：
- 结论：左右极限存在但不相等，为跳跃间断点。