题目
一质点沿X轴运动,其加速度a与位置坐标x的关系为a=2+6x^2,如果质点在原点处的速度为零,试求其在任意位置处的速度.
一质点沿X轴运动,其加速度$$a$$与位置坐标x的关系为$$a=2+6x^2$$,如果质点在原点处的速度为零,试求其在任意位置处的速度.
题目解答
答案
$$a=\frac{dv}{dt} =\frac{dv}{dx}\cdot \frac{dx}{dt}=v\frac{dv}{dx}$$
分离变量:$$v\cdot dv=a\cdot dx=(2+6x^2)dx$$
两边积分得$$\frac{1}{2} v^2=2x+2x^3+c$$
由题知，x=0时，$$v_0=10$$,
故c=50
$$v=2\root \of {x^3+x+25m\cdot s^{-1}}$$
解析
步骤 1：利用加速度与速度的关系
根据加速度的定义，加速度$$a$$可以表示为速度$$v$$对时间$$t$$的导数，即$$a=\frac{dv}{dt}$$。同时，速度$$v$$可以表示为位置$$x$$对时间$$t$$的导数，即$$v=\frac{dx}{dt}$$。因此，加速度$$a$$也可以表示为$$a=v\frac{dv}{dx}$$。
步骤 2：分离变量并积分
将加速度$$a$$与位置$$x$$的关系式$$a=2+6x^2$$代入$$a=v\frac{dv}{dx}$$，得到$$v\frac{dv}{dx}=2+6x^2$$。分离变量得到$$v\cdot dv=(2+6x^2)dx$$。对两边进行积分，得到$$\int v\cdot dv=\int (2+6x^2)dx$$。积分后得到$$\frac{1}{2}v^2=2x+2x^3+C$$，其中$$C$$是积分常数。
步骤 3：确定积分常数
根据题目条件，当$$x=0$$时，$$v=0$$。将这些值代入$$\frac{1}{2}v^2=2x+2x^3+C$$，得到$$0=0+0+C$$，因此$$C=0$$。
步骤 4：求解速度$$v$$
将$$C=0$$代入$$\frac{1}{2}v^2=2x+2x^3$$，得到$$v^2=4x+4x^3$$。因此，速度$$v$$为$$v=2\sqrt{x^3+x}$$。
根据加速度的定义，加速度$$a$$可以表示为速度$$v$$对时间$$t$$的导数，即$$a=\frac{dv}{dt}$$。同时，速度$$v$$可以表示为位置$$x$$对时间$$t$$的导数，即$$v=\frac{dx}{dt}$$。因此，加速度$$a$$也可以表示为$$a=v\frac{dv}{dx}$$。
步骤 2：分离变量并积分
将加速度$$a$$与位置$$x$$的关系式$$a=2+6x^2$$代入$$a=v\frac{dv}{dx}$$，得到$$v\frac{dv}{dx}=2+6x^2$$。分离变量得到$$v\cdot dv=(2+6x^2)dx$$。对两边进行积分，得到$$\int v\cdot dv=\int (2+6x^2)dx$$。积分后得到$$\frac{1}{2}v^2=2x+2x^3+C$$，其中$$C$$是积分常数。
步骤 3：确定积分常数
根据题目条件，当$$x=0$$时，$$v=0$$。将这些值代入$$\frac{1}{2}v^2=2x+2x^3+C$$，得到$$0=0+0+C$$，因此$$C=0$$。
步骤 4：求解速度$$v$$
将$$C=0$$代入$$\frac{1}{2}v^2=2x+2x^3$$，得到$$v^2=4x+4x^3$$。因此，速度$$v$$为$$v=2\sqrt{x^3+x}$$。