题目
(4)设函数f(x)的导数在 x=a 处连续,又 lim _(xarrow a)dfrac (f'(x))(x-a)=-1, 则 () .-|||-(A)f(x)在 x=a 处取极大值-|||-(B)f(x)在 x=a 处取极小值-|||-(C)点(a,f(a))为曲线 y=f(x) 的拐点-|||-(D) x=a 不是f(x)的极值点,点(a,f(a))也不是曲线 y=f(x) 的拐点
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析导数的极限
已知 $\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f'(x)}{x-a}=-1$，这表明当x趋近于a时，f'(x)的值趋近于0，且f'(x)在x=a处的导数为0，即f'(a)=0。这说明x=a可能是f(x)的极值点。
步骤 2：判断极值点的性质
由于 $\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f'(x)}{x-a}=-1$，这表明f'(x)在x=a处的左右导数符号相反。具体来说，当x从a的左侧趋近于a时，f'(x)为正；当x从a的右侧趋近于a时，f'(x)为负。这说明f(x)在x=a处从增函数变为减函数，因此x=a是f(x)的极大值点。
步骤 3：排除其他选项
由于f(x)在x=a处取极大值，因此选项(B)和(D)不正确。选项(C)也不正确，因为拐点是函数凹凸性改变的点，而题目中没有给出关于f(x)凹凸性的信息。
已知 $\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f'(x)}{x-a}=-1$，这表明当x趋近于a时，f'(x)的值趋近于0，且f'(x)在x=a处的导数为0，即f'(a)=0。这说明x=a可能是f(x)的极值点。
步骤 2：判断极值点的性质
由于 $\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f'(x)}{x-a}=-1$，这表明f'(x)在x=a处的左右导数符号相反。具体来说，当x从a的左侧趋近于a时，f'(x)为正；当x从a的右侧趋近于a时，f'(x)为负。这说明f(x)在x=a处从增函数变为减函数，因此x=a是f(x)的极大值点。
步骤 3：排除其他选项
由于f(x)在x=a处取极大值，因此选项(B)和(D)不正确。选项(C)也不正确，因为拐点是函数凹凸性改变的点，而题目中没有给出关于f(x)凹凸性的信息。