(9) int dfrac (1)(xsqrt {{x)^2-1}}dx

考查要点：本题主要考查有理函数的积分，特别是涉及根式$\sqrt{x^2 - 1}$的积分方法。需要掌握三角替换法的应用，以及反三角函数的积分结果。

解题核心思路：
当积分中出现$\sqrt{x^2 - a^2}$时，通常采用三角替换，令$x = a \sec t$（此处$a=1$，故$x = \sec t$）。通过替换将根式化简为$\tan t$，进而简化积分表达式。

破题关键点：

1. 正确选择替换变量：根据根式形式选择$x = \sec t$。
2. 化简积分表达式：利用三角恒等式$\sec^2 t - 1 = \tan^2 t$，将根式转化为$\tan t$。
3. 反三角函数的表示：积分结果需通过反三角函数$\text{arcsec}\,x$或等价形式（如$\arccos(1/x)$）表示。

步骤1：三角替换

令$x = \sec t$，则$dx = \sec t \tan t \, dt$。此时，根式$\sqrt{x^2 - 1}$可化简为：
$\sqrt{\sec^2 t - 1} = \tan t.$

步骤2：代入积分

将$x$和$dx$代入原积分：
$\int \frac{1}{x \sqrt{x^2 - 1}} \, dx = \int \frac{1}{\sec t \cdot \tan t} \cdot \sec t \tan t \, dt.$

步骤3：化简积分

分子和分母中的$\sec t \tan t$相抵消，积分简化为：
$\int 1 \, dt = t + C.$

步骤4：回代变量

由$x = \sec t$得$t = \text{arcsec}\,x$，因此积分结果为：
$t + C = \text{arcsec}\,x + C.$

等价形式：
$\text{arcsec}\,x$也可表示为$\arccos\left(\frac{1}{x}\right)$，因此最终结果可写为：
$\arccos\left(\frac{1}{x}\right) + C.$