[2011年] 设F1(x)与F2(x)为两个分布函数,其相应的概率密度f1(x)与f2(x)是连续函数,则必为概率密度的是( ).A. f1(x)f2(x)B. 2f2(x)F1(x)C. f1(x)F2(x)D. f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)

考查要点：本题主要考查分布函数与概率密度的关系，以及如何判断一个函数是否为概率密度。关键在于理解概率密度的两个基本性质：非负性和积分等于1。

解题核心思路：

1. 非负性：概率密度函数必须非负，即对所有$x$，$f(x) \geq 0$。
2. 积分归一性：$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 1$。

破题关键点：

• 选项D的结构：观察到选项D的形式为$f_1(x)F_2(x) + f_2(x)F_1(x)$，这实际上是两个分布函数乘积的导数，即$\frac{d}{dx}[F_1(x)F_2(x)]$。通过分析其导数性质，可以快速判断其是否满足概率密度的条件。

选项分析

选项D：$f_1(x)F_2(x) + f_2(x)F_1(x)$

1. 非负性：

   • $f_1(x) \geq 0$，$F_2(x) \in [0,1]$，故$f_1(x)F_2(x) \geq 0$；
   • 同理，$f_2(x)F_1(x) \geq 0$。
     因此，$f_1(x)F_2(x) + f_2(x)F_1(x) \geq 0$。

2. 积分归一性：
   计算积分：
   $\int_{-\infty}^{+\infty} [f_1(x)F_2(x) + f_2(x)F_1(x)] \, dx = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{d}{dx}[F_1(x)F_2(x)] \, dx = F_1(+\infty)F_2(+\infty) - F_1(-\infty)F_2(-\infty) = 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 = 1.$
   因此，积分等于1。

结论：选项D同时满足非负性和积分归一性，必为概率密度。