题目
微分方程 cosx+ysinx=1 的通解为（ ）cosx+ysinx=1cosx+ysinx=1 cosx+ysinx=1cosx+ysinx=1
微分方程 
的通解为（ ）
题目解答
答案
由题意得
微分方程 变换形式可得
故本题答案为B
解析
步骤 1：将微分方程变形
将微分方程 $\cos x+y\sin x=1$ 变形为 $y+y\tan x=\sec x$，其中 $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$，$\sec x=\frac{1}{\cos x}$。
步骤 2：求解一阶线性微分方程
一阶线性微分方程 $y'+P(x)y=Q(x)$ 的通解为 $y=e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C)$。对于 $y+y\tan x=\sec x$，有 $P(x)=\tan x$，$Q(x)=\sec x$。
步骤 3：计算积分
计算 $e^{-\int \tan x dx}=\cos x$，$\int \sec x e^{\int \tan x dx}dx=\int \sec x \frac{1}{\cos x}dx=\int \sec^2 x dx=\tan x$。
步骤 4：代入通解公式
代入通解公式，得到 $y=\cos x(\tan x+C)$。
步骤 5：化简通解
化简通解，得到 $y=C\cos x+\sin x$。
将微分方程 $\cos x+y\sin x=1$ 变形为 $y+y\tan x=\sec x$，其中 $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$，$\sec x=\frac{1}{\cos x}$。
步骤 2：求解一阶线性微分方程
一阶线性微分方程 $y'+P(x)y=Q(x)$ 的通解为 $y=e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C)$。对于 $y+y\tan x=\sec x$，有 $P(x)=\tan x$，$Q(x)=\sec x$。
步骤 3：计算积分
计算 $e^{-\int \tan x dx}=\cos x$，$\int \sec x e^{\int \tan x dx}dx=\int \sec x \frac{1}{\cos x}dx=\int \sec^2 x dx=\tan x$。
步骤 4：代入通解公式
代入通解公式，得到 $y=\cos x(\tan x+C)$。
步骤 5：化简通解
化简通解，得到 $y=C\cos x+\sin x$。