1.求由曲线y=x^2与直线y=2x+3所围成平面图形的面积.

考查要点：本题主要考查利用定积分求平面图形面积的方法，涉及求曲线交点、确定积分上下限以及积分计算。

解题核心思路：

1. 确定交点：联立曲线方程，解方程找到交点，确定积分区间。
2. 判断上下曲线：在积分区间内，判断哪条曲线在上方，确定被积函数为上方曲线减下方曲线。
3. 计算定积分：对被积函数在积分区间内求定积分，得到面积。

破题关键点：

• 正确求解交点：通过解方程$x^2 = 2x + 3$得到$x = -1$和$x = 3$。
• 明确积分区间：交点$x = -1$和$x = 3$确定积分区间为$[-1, 3]$。
• 正确选择被积函数：在区间$[-1, 3]$上，直线$y = 2x + 3$始终在曲线$y = x^2$上方，因此被积函数为$(2x + 3) - x^2$。

步骤1：求曲线交点
联立方程$y = x^2$和$y = 2x + 3$，解得：
$x^2 = 2x + 3 \implies x^2 - 2x - 3 = 0 \implies (x - 3)(x + 1) = 0 \implies x = -1 \text{ 或 } x = 3.$
交点为$(-1, 1)$和$(3, 9)$，积分区间为$[-1, 3]$。

步骤2：判断上下曲线
取区间内任意点（如$x = 0$），代入两曲线：

• $y = x^2 = 0$，
• $y = 2x + 3 = 3$。
  直线始终在曲线上方，因此被积函数为$(2x + 3) - x^2$。

步骤3：计算定积分
面积$S$为：
$\begin{aligned}S &= \int_{-1}^{3} \left[(2x + 3) - x^2\right] \, dx \\&= \int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) \, dx \\&= \left[ -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x \right]_{-1}^{3}.\end{aligned}$

步骤4：代入上下限计算

• 上限$x = 3$：
  $-\frac{3^3}{3} + 3^2 + 3 \cdot 3 = -9 + 9 + 9 = 9.$
• 下限$x = -1$：
  $-\frac{(-1)^3}{3} + (-1)^2 + 3 \cdot (-1) = \frac{1}{3} + 1 - 3 = -\frac{5}{3}.$
• 面积结果：
  $S = 9 - \left(-\frac{5}{3}\right) = \frac{32}{3}.$