题目

∫dfrac ({(1-x))^2}(sqrt {x)}dx=＿＿＿.

∫ $%5Cdfrac%7B%5Cleft%281-x%5Cright%29%5E%7B2%7D%7D%7B%5Csqrt%20%7Bx%7D%7Ddx%3D%20$ ＿＿＿.

题目解答

答案

据题，有

$%5Cint_%7B%C2%A0%7D%5E%7B%C2%A0%7D%5Cdfrac%7B%5Cleft%281-x%5Cright%29%5E%7B2%7D%7D%7B%5Csqrt%20%7Bx%7D%7D%5Cmathrm%7Bd%7Dx$

$%3D%5Cint_%7B%C2%A0%7D%5E%7B%C2%A0%7D%5Cleft%28%5Cdfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%20%7Bx%7D%7D-%5Cdfrac%7B2x%7D%7B%5Csqrt%20%7Bx%7D%7D%2B%5Cdfrac%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B%5Csqrt%20%7Bx%7D%7D%5Cright%29%5Cmathrm%7Bd%7Dx$

$%3D%5Cint_%7B%C2%A0%7D%5E%7B%C2%A0%7Dx%5E%7B-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%5Cmathrm%7Bd%7Dx-%5Cint_%7B%C2%A0%7D%5E%7B%C2%A0%7D2x%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%5Cmathrm%7Bd%7Dx%2B%5Cint_%7B%C2%A0%7D%5E%7B%C2%A0%7Dx%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D%5Cmathrm%7Bd%7Dx$

$%3D%5Cint_%7B%C2%A0%7D%5E%7B%C2%A0%7Dx%5E%7B-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D-2%5Cint_%7B%C2%A0%7D%5E%7B%C2%A0%7Dx%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%5Cmathrm%7Bd%7Dx%2B%5Cint_%7B%C2%A0%7D%5E%7B%C2%A0%7Dx%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D%5Cmathrm%7Bd%7Dx$

$%3D2%5Csqrt%20%7Bx%7D%2BC_%7B1%7D-%5Cdfrac%7B4%7D%7B3%7Dx%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D%2BC_%7B2%7D%2B%5Cdfrac%7B2%7D%7B5%7Dx%5E%7B%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D%7D%2BC_%7B3%7D$

$%3D2%5Csqrt%20%7Bx%7D-%5Cdfrac%7B4%7D%7B3%7Dx%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D%2B%5Cdfrac%7B2%7D%7B5%7Dx%5E%7B%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D%7D%2BC$ .

故答案为： $2%5Csqrt%20%7Bx%7D-%5Cdfrac%7B4%7D%7B3%7Dx%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D%2B%5Cdfrac%7B2%7D%7B5%7Dx%5E%7B%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D%7D%2BC$ .

解析

步骤 1：展开被积函数
将被积函数 $\dfrac{{(1-x)}^{2}}{\sqrt{x}}$ 展开为 $\dfrac{1-2x+x^2}{\sqrt{x}}$，即 $\dfrac{1}{\sqrt{x}}-\dfrac{2x}{\sqrt{x}}+\dfrac{x^2}{\sqrt{x}}$。
步骤 2：将被积函数分解为三个部分
将被积函数分解为三个部分：$\dfrac{1}{\sqrt{x}}$，$-\dfrac{2x}{\sqrt{x}}$，$\dfrac{x^2}{\sqrt{x}}$。
步骤 3：分别对三个部分进行积分
对 $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ 积分得到 $2\sqrt{x}$，对 $-\dfrac{2x}{\sqrt{x}}$ 积分得到 $-\dfrac{4}{3}x^{\dfrac{3}{2}}$，对 $\dfrac{x^2}{\sqrt{x}}$ 积分得到 $\dfrac{2}{5}x^{\dfrac{5}{2}}$。
步骤 4：合并积分结果
将三个部分的积分结果合并，得到 $2\sqrt{x}-\dfrac{4}{3}x^{\dfrac{3}{2}}+\dfrac{2}{5}x^{\dfrac{5}{2}}$，并加上积分常数 $C$。