题目
某企业花费3456万元改造了一条自动化生产线，单位产品人工成本降低了50%，非人工成本降低了10%，单日产量扩大了一倍，已知改造前的单位产品人工成本是非人工成本的3倍，改造后每天的人工成本比非人工成本高3.6万元。问多少天后新生产线降低的成本可与花费的改造成本相抵？A. 480B. 300C. 360D. 540
某企业花费3456万元改造了一条自动化生产线，单位产品人工成本降低了50%，非人工成本降低了10%，单日产量扩大了一倍，已知改造前的单位产品人工成本是非人工成本的3倍，改造后每天的人工成本比非人工成本高3.6万元。问多少天后新生产线降低的成本可与花费的改造成本相抵？ A. 480 B. 300 C. 360 D. 540
题目解答
答案
我们来一步一步分析并解决这道题：
---
### **题目信息总结：**
1. **改造花费：** 3456万元。
2. **改造后变化：**
- 单位产品人工成本降低50%。
- 非人工成本降低10%。
- 单日产量扩大一倍。
3. **改造前关系：**
- 单位产品人工成本 = 3 × 单位产品非人工成本。
4. **改造后关系：**
- 每天的人工成本比非人工成本高3.6万元。
---
### **设变量：**
设改造前：
- 单位产品非人工成本为：**x** 万元
- 则单位产品人工成本为：**3x** 万元
设改造前日产量为：**y** 件
---
### **改造前每天成本：**
- 非人工成本：**x × y**
- 人工成本：**3x × y**
---
### **改造后每天成本：**
- 非人工成本降低10%，即为：**0.9x × 2y = 1.8xy**
- 人工成本降低50%，即为：**1.5x × 2y = 3xy**
---
### **改造后每天人工成本比非人工成本高3.6万元：**
$$
3xy - 1.8xy = 1.2xy = 3.6 \Rightarrow xy = 3
$$
---
### **每天节省的成本：**
改造前每天总成本：
$$
x y + 3x y = 4x y = 4 × 3 = 12 \text{万元}
$$
改造后每天总成本：
$$
1.8x y + 3x y = 4.8x y = 4.8 × 3 = 14.4 \text{万元}
$$
**每天节省成本 = 改造前成本 - 改造后成本：**
$$
12 - 14.4 = -2.4 \text{万元}
$$
**这里有问题！** 说明我们计算错了。
---
### **再仔细分析：**
我们发现上面的计算是错误的，因为：
- 改造前单位产品人工成本是3x，非人工成本是x，总成本是4x。
- 改造后人工成本降了50%，变成1.5x，非人工成本降了10%，变成0.9x，总成本是2.4x。
- 产量翻倍，所以改造后每天的总成本是：**2.4x × 2y = 4.8xy**
- 改造前每天总成本是：**4x × y = 4xy**
所以每天节省成本是：
$$
4xy - 4.8xy = -0.8xy
$$
**还是负数？说明我们理解错了节省成本的方向。**
---
### **正确思路：**
改造后每天总成本是 **4.8xy**，改造前是 **4xy**，所以 **每天多花了0.8xy万元**，不是节省了。
但是题目说：
> “改造后每天的人工成本比非人工成本高3.6万元。”
我们之前用这个条件求出：
$$
3xy - 1.8xy = 1.2xy = 3.6 \Rightarrow xy = 3
$$
所以每天多花了：
$$
0.8xy = 0.8 × 3 = 2.4 \text{万元}
$$
---
### **那怎么解释“成本降低”？**
注意题目说：
> “单位产品人工成本降低了50%，非人工成本降低了10%”
所以单位产品成本下降了：
- 原来单位成本：**4x**
- 改造后单位成本：**2.4x**
- 所以单位产品节省成本：**4x - 2.4x = 1.6x**
每天产量是 **2y**，所以每天节省成本是：
$$
1.6x × 2y = 3.2xy
$$
代入 xy = 3：
$$
3.2 × 3 = 9.6 \text{万元/天}
$$
---
### **总改造成本是3456万元，每天节省9.6万元，求多少天可以抵消：**
$$
\frac{3456}{9.6} = 360 \text{天}
$$
---
### **答案：**
$$
\boxed{C. 360}
$$
解析
考查要点：本题主要考查成本变化的计算与方程的应用，涉及百分比变化、产量调整及成本抵消周期的计算。
解题核心思路：
- 设定变量：根据题目条件，设定改造前的单位非人工成本和日产量，建立变量关系。
- 计算改造前后成本：分别计算改造前后的单位成本和总成本，注意产量翻倍的影响。
- 利用条件列方程：通过“改造后人工成本比非人工成本高3.6万元”建立方程，求解变量关系。
- 计算节省成本：明确单位成本节省量，结合产量计算每日节省的总成本。
- 求抵消周期：用总改造成本除以每日节省成本，得到所需天数。
破题关键点：
- 正确理解“单位成本”与“总成本”的关系，避免混淆。
- 注意产量翻倍对总成本的影响，需将单位成本变化与产量调整结合计算。
- 准确建立方程，通过人工成本与非人工成本的差值求解变量。
设定变量
- 设改造前单位非人工成本为 $x$ 万元，则单位人工成本为 $3x$ 万元。
- 设改造前日产量为 $y$ 件，则改造后日产量为 $2y$ 件。
改造前成本计算
- 单位总成本：$3x + x = 4x$ 万元。
- 日总成本：$4x \cdot y = 4xy$ 万元。
改造后成本计算
- 单位人工成本：降低50%，即 $3x \cdot 0.5 = 1.5x$ 万元。
- 单位非人工成本：降低10%，即 $x \cdot 0.9 = 0.9x$ 万元。
- 单位总成本：$1.5x + 0.9x = 2.4x$ 万元。
- 日总成本：$2.4x \cdot 2y = 4.8xy$ 万元。
利用条件列方程
改造后人工成本总和为 $1.5x \cdot 2y = 3xy$，非人工成本总和为 $0.9x \cdot 2y = 1.8xy$。根据题意：
$3xy - 1.8xy = 3.6 \implies 1.2xy = 3.6 \implies xy = 3.$
计算每日节省成本
- 单位成本节省：$4x - 2.4x = 1.6x$ 万元。
- 日总节省成本：$1.6x \cdot 2y = 3.2xy$。
- 代入 $xy = 3$，得每日节省 $3.2 \cdot 3 = 9.6$ 万元。
求抵消周期
总改造成本为3456万元，每日节省9.6万元，所需天数为：
$\frac{3456}{9.6} = 360 \text{天}.$