题目
不定积分《换元积分法，实际上是与微分学中的复合函数求导法相对应的一种积分方法。而分部积分法则是与微分学中的函数乘积求导法相对应的一种积分方法。int udv=uv-int vdu，这就是不定积分的分部积分公式。分部积分法主要用于求两类性质不同函数的乘积之积分。当int udv不好计算，而int vdu易于计算，就可用分部积分公式来计算积分。》int x^2 e^x dx结果为()A. e^x (x^2 - 2x)+ CB. e^x (x^2 - 2x - 2)+ CC. e^x (x^2 + 2x + 2)+ CD. e^x (x^2 - 2x + 2)+ C
不定积分《换元积分法，实际上是与微分学中的复合函数求导法相对应的一种积分方法。而分部积分法则是与微分学中的函数乘积求导法相对应的一种积分方法。$\int udv=uv-\int vdu$，这就是不定积分的分部积分公式。分部积分法主要用于求两类性质不同函数的乘积之积分。当$\int udv$不好计算，而$\int vdu$易于计算，就可用分部积分公式来计算积分。》$\int x^2 e^x dx$结果为()
A. $e^x (x^2 - 2x)+ C$
B. $e^x (x^2 - 2x - 2)+ C$
C. $e^x (x^2 + 2x + 2)+ C$
D. $e^x (x^2 - 2x + 2)+ C$
题目解答
答案
D. $e^x (x^2 - 2x + 2)+ C$
解析
步骤 1：选择 $u$ 和 $dv$
为了使用分部积分法，我们首先需要选择 $u$ 和 $dv$。对于积分 $\int x^2 e^x \, dx$，我们选择： \[ u = x^2 \quad \text{和} \quad dv = e^x \, dx \] 这样选择是因为 $x^2$ 的导数是 $2x$，而 $e^x$ 的积分仍然是 $e^x$，这将使后续的积分更容易处理。
步骤 2：计算 $du$ 和 $v$
根据选择的 $u$ 和 $dv$，我们计算 $du$ 和 $v$： \[ du = 2x \, dx \quad \text{和} \quad v = e^x \] 这些值将用于分部积分公式。
步骤 3：应用分部积分公式
将 $u$、$v$、$du$ 和 $dv$ 代入分部积分公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$，我们得到： \[ \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - \int e^x \cdot 2x \, dx \] 简化右边的积分，我们有： \[ \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - 2 \int x e^x \, dx \] 现在，我们需要再次使用分部积分法求解 $\int x e^x \, dx$。设： \[ u = x \quad \text{和} \quad dv = e^x \, dx \] 然后，我们找到 $du$ 和 $v$： \[ du = dx \quad \text{和} \quad v = e^x \] 将这些代入分部积分公式，我们得到： \[ \int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx \] 简化右边的积分，我们有： \[ \int x e^x \, dx = x e^x - e^x + C = e^x (x - 1) + C \] 现在，将这个结果代回我们原来的表达式，我们得到： \[ \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - 2 \left( e^x (x - 1) \right) + C \] 简化右边的表达式，我们有： \[ \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - 2 e^x x + 2 e^x + C = e^x (x^2 - 2x + 2) + C \]
为了使用分部积分法，我们首先需要选择 $u$ 和 $dv$。对于积分 $\int x^2 e^x \, dx$，我们选择： \[ u = x^2 \quad \text{和} \quad dv = e^x \, dx \] 这样选择是因为 $x^2$ 的导数是 $2x$，而 $e^x$ 的积分仍然是 $e^x$，这将使后续的积分更容易处理。
步骤 2：计算 $du$ 和 $v$
根据选择的 $u$ 和 $dv$，我们计算 $du$ 和 $v$： \[ du = 2x \, dx \quad \text{和} \quad v = e^x \] 这些值将用于分部积分公式。
步骤 3：应用分部积分公式
将 $u$、$v$、$du$ 和 $dv$ 代入分部积分公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$，我们得到： \[ \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - \int e^x \cdot 2x \, dx \] 简化右边的积分，我们有： \[ \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - 2 \int x e^x \, dx \] 现在，我们需要再次使用分部积分法求解 $\int x e^x \, dx$。设： \[ u = x \quad \text{和} \quad dv = e^x \, dx \] 然后，我们找到 $du$ 和 $v$： \[ du = dx \quad \text{和} \quad v = e^x \] 将这些代入分部积分公式，我们得到： \[ \int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx \] 简化右边的积分，我们有： \[ \int x e^x \, dx = x e^x - e^x + C = e^x (x - 1) + C \] 现在，将这个结果代回我们原来的表达式，我们得到： \[ \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - 2 \left( e^x (x - 1) \right) + C \] 简化右边的表达式，我们有： \[ \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - 2 e^x x + 2 e^x + C = e^x (x^2 - 2x + 2) + C \]