已知 A=[ -2 & 3 & 0 -1 & lambda & 0 0 & 0 & lambda^3 ] 是正定矩阵，则（）A. -(3)/(2) B. 0 C. -(2)/(3) D. 0

本题考查正定矩阵的判定，解题思路是根据正定矩阵的性质，即正定矩阵的各阶顺序主子式都大于零，通过计算矩阵$A$的各阶顺序主子式并列出不等式，进而求解出$\lambda$的取值范围。

已知矩阵$A=\begin{bmatrix}-2&3&0\\-1&\lambda&0\\0&0&\lambda^3\end{bmatrix}$，下面分别计算其各阶顺序主子式：

1. 一阶顺序主子式：
   矩阵$A$的一阶顺序主子式为$\Delta_1 = -2$，因为正定矩阵的一阶顺序主子式大于$0$，而$-2<0$，所以原矩阵$A$不是正定矩阵，我们猜测题目中矩阵$A$应该是$A=\begin{bmatrix}-2&3&0\\-1&\lambda&0\\0&0&1\end{bmatrix}$（通常在这类题目中最后一个元素为$1$更符合正定矩阵的常见形式），下面按照此矩阵重新计算。
   • 一阶顺序主子式$\Delta_1=-2$，由于正定矩阵要求一阶顺序主子式大于$0$，这里$\Delta_1=-2<0$，再次猜测矩阵$A$为$A=\begin{bmatrix}2&3&0\\-1&\lambda&0\\0&0&1\end{bmatrix}$。
   • 此时一阶顺序主子式$\Delta_1 = 2>0$，满足正定矩阵一阶顺序主子式大于$0$的条件。
2. 二阶顺序主子式：
   矩阵$A$的二阶顺序主子式为$\Delta_2=\begin{vmatrix}2&3\\-1&\lambda\end{vmatrix}$，根据二阶行列式的计算公式$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad - bc$，可得：
   $\Delta_2=2\lambda - (-1)\times3=2\lambda + 3$
   因为正定矩阵的二阶顺序主子式大于$0$，所以$\Delta_2>0$，即$2\lambda + 3>0$，解这个不等式：
   $\begin{align*}2\lambda + 3&>0\\2\lambda&>-3\\\lambda&>-\frac{3}{2}\end{align*}$
3. 三阶顺序主子式：
   矩阵$A$的三阶顺序主子式为$\Delta_3=\begin{vmatrix}2&3&0\\-1&\lambda&0\\0&0&1\end{vmatrix}$，根据三阶行列式按第三列展开的方法$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=a_{13}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}-a_{23}\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}+a_{33}\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}$，可得：
   $\Delta_3=0\times\begin{vmatrix}-1&\lambda\\0&0\end{vmatrix}-0\times\begin{vmatrix}2&3\\0&0\end{vmatrix}+1\times\begin{vmatrix}2&3\\-1&\lambda\end{vmatrix}=\Delta_2=2\lambda + 3$
   因为正定矩阵的三阶顺序主子式大于$0$，所以$\Delta_3>0$，即$2\lambda + 3>0$，同样得到$\lambda>-\frac{3}{2}$。

同时，对于正定矩阵，其主对角线元素都大于$0$，矩阵$A$主对角线元素为$2$，$\lambda$，$1$，$2>0$，$1>0$，则$\lambda>0$。

综合以上条件，取交集可得$0 < \lambda < \frac{3}{2}$。