题目
【判断题】若一对正交坐标轴中,其中有一轴为图形的对称轴,则图形对这对轴的惯性积一定为零。A. 对B. 错
【判断题】若一对正交坐标轴中,其中有一轴为图形的对称轴,则图形对这对轴的惯性积一定为零。
A. 对
B. 错
题目解答
答案
A. 对
解析
步骤 1：理解惯性积的定义
惯性积是描述平面图形对某一对正交坐标轴的惯性矩的量度，其定义为：\(I_{xy} = \int_A xy \, dA\)，其中 \(A\) 是图形的面积，\(x\) 和 \(y\) 是图形上点到坐标轴的距离。
步骤 2：分析对称轴的影响
如果图形关于某一对正交坐标轴中的一轴对称，那么图形在该轴两侧的面积分布是镜像对称的。这意味着，对于图形上的任意一点，如果它在 \(x\) 轴上的坐标为 \(x\)，则在 \(y\) 轴上的坐标为 \(y\)，那么在对称轴另一侧的对应点的坐标为 \((-x, y)\) 或 \((x, -y)\)。
步骤 3：计算惯性积
由于图形关于对称轴对称，对于每一对对称点，它们对惯性积的贡献是 \(xy\) 和 \(-xy\) 或 \(xy\) 和 \(-xy\)，因此它们的贡献相互抵消。因此，图形对这对轴的惯性积一定为零。
惯性积是描述平面图形对某一对正交坐标轴的惯性矩的量度，其定义为：\(I_{xy} = \int_A xy \, dA\)，其中 \(A\) 是图形的面积，\(x\) 和 \(y\) 是图形上点到坐标轴的距离。
步骤 2：分析对称轴的影响
如果图形关于某一对正交坐标轴中的一轴对称，那么图形在该轴两侧的面积分布是镜像对称的。这意味着，对于图形上的任意一点，如果它在 \(x\) 轴上的坐标为 \(x\)，则在 \(y\) 轴上的坐标为 \(y\)，那么在对称轴另一侧的对应点的坐标为 \((-x, y)\) 或 \((x, -y)\)。
步骤 3：计算惯性积
由于图形关于对称轴对称，对于每一对对称点，它们对惯性积的贡献是 \(xy\) 和 \(-xy\) 或 \(xy\) 和 \(-xy\)，因此它们的贡献相互抵消。因此，图形对这对轴的惯性积一定为零。