曲线 y=cos x (-(pi)/(2) leq x leq (pi)/(2)) 与 x 轴所围成的图形，绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 A. (pi)/(2)B. piC. (pi^2)/(2)D. pi^2

为了求出曲线 $ y = \cos x $ 在区间 $[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ 与x轴所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积，我们可以使用圆盘法。圆盘法的公式为： \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] 这里，$ f(x) = \cos x $，$ a = -\frac{\pi}{2} $，$ b = \frac{\pi}{2} $。将这些值代入公式，我们得到： \[ V = \pi \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x \, dx \] 为了积分 $ \cos^2 x $，我们使用半角恒等式 $ \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} $。因此，积分变为： \[ V = \pi \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2x}{2} \, dx \] 我们可以将这个积分拆分为两个积分： \[ V = \pi \left( \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} \, dx + \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos 2x}{2} \, dx \right) \] 第一个积分很简单： \[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} \, dx = \frac{1}{2} \left[ x \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} - \left( -\frac{\pi}{2} \right) \right) = \frac{1}{2} \cdot \pi = \frac{\pi}{2} \] 第二个积分可以通过代换 $ u = 2x $，所以 $ du = 2 \, dx $ 或 $ dx = \frac{1}{2} \, du $。当 $ x = -\frac{\pi}{2} $ 时，$ u = -\pi $，当 $ x = \frac{\pi}{2} $ 时，$ u = \pi $。因此，积分变为： \[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos 2x}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos u}{2} \, du = \frac{1}{4} \int_{-\pi}^{\pi} \cos u \, du \] 由于 $ \cos u $ 是一个奇函数，它在对称区间 $[- \pi, \pi]$ 上的积分是零： \[ \int_{-\pi}^{\pi} \cos u \, du = 0 \] 所以，第二个积分是零。因此，体积为： \[ V = \pi \left( \frac{\pi}{2} + 0 \right) = \pi \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{2} \] 因此，旋转体的体积是 $\boxed{\frac{\pi^2}{2}}$。正确答案是 $\boxed{C}$。