已知函数f(x)在 x=0 的某个邻域内有连续导数,且 lim _(xarrow 0)(dfrac (sin x)({x)^2}+dfrac (f(x))(x))=2 试求-|||-f(0)及f'(0).

考查要点：本题主要考查泰勒展开的应用及极限的计算，需要结合函数在某点的泰勒展开式，通过分析极限存在的条件来确定未知参数。

解题核心思路：

1. 泰勒展开：将$\sin x$和$f(x)$在$x=0$处展开，保留足够阶数的项，以保证代入极限后能抵消无穷大项。
2. 极限分析：将展开后的表达式代入原极限，通过合并同类项，分析分子中各阶无穷小的系数，确保极限存在且等于2。
3. 方程求解：根据无穷小项的系数为零的条件，建立方程求解$f(0)$和$f'(0)$。

破题关键点：

• 抵消无穷大项：通过$\sin x$和$f(x)$的展开，使得$\frac{\sin x}{x^2} + \frac{f(x)}{x}$中的$\frac{1}{x}$项系数为零，消除无穷大。
• 高阶项匹配：剩余项的系数需满足极限值为2的条件，从而确定$f'(0)$的值。

步骤1：泰勒展开

• $\sin x$在$x=0$处展开到二阶：
  $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3) \quad \Rightarrow \quad \sin x = x + o(x^2).$
• $f(x)$在$x=0$处展开到一阶：
  $f(x) = f(0) + f'(0)x + o(x).$

步骤2：代入原极限表达式
将展开式代入$\frac{\sin x}{x^2} + \frac{f(x)}{x}$：
$\begin{aligned}\frac{\sin x}{x^2} + \frac{f(x)}{x} &= \frac{x + o(x^2)}{x^2} + \frac{f(0) + f'(0)x + o(x)}{x} \\&= \frac{1}{x} + \frac{o(x^2)}{x^2} + \frac{f(0)}{x} + f'(0) + \frac{o(x)}{x}.\end{aligned}$

步骤3：合并同类项
合并$\frac{1}{x}$和$\frac{f(0)}{x}$项：
$\frac{1 + f(0)}{x} + f'(0) + \text{高阶无穷小}.$

步骤4：分析极限存在条件
原极限为2，说明：

1. 无穷大项系数为零：$\frac{1 + f(0)}{x}$必须消失，即$1 + f(0) = 0 \Rightarrow f(0) = -1$。
2. 剩余项等于2：$f'(0) = 2$。