函数f(x)=int_(-1)^x(1-|t|)dt(xgeq-1)与x轴所围成的平面图形的面积为_____.

考查要点：本题主要考查定积分的计算、分段函数的处理以及平面图形面积的求解方法。

解题核心思路：

1. 分段处理被积函数：由于被积函数$1-|t|$在$t \geq 0$和$t < 0$时表达式不同，需分区间积分。
2. 确定函数表达式：根据积分上下限$x$的位置，将积分分为$[-1,0)$和$[0,x]$两部分计算。
3. 求交点与分界点：找到函数$f(x)$与$x$轴的交点，确定积分区间。
4. 分段计算面积：对每个区间分别积分，注意取绝对值求面积。

破题关键点：

• 分段积分：正确处理绝对值函数的分段性。
• 二次方程求解：确定函数与$x$轴的第二个交点。
• 面积叠加：将总面积拆分为两部分积分之和。

1. 求$f(x)$的表达式

• 当$-1 \leq x < 0$时：
  $t \in [-1, x] \subset [-1, 0)$，故$|t| = -t$，被积函数为$1 + t$。
  积分得：
  $f(x) = \int_{-1}^x (1 + t) \, dt = \left[ t + \frac{t^2}{2} \right]_{-1}^x = \frac{(x+1)^2}{2}.$

• 当$x \geq 0$时：
  积分分为两部分：$\int_{-1}^0 (1 + t) \, dt + \int_{0}^x (1 - t) \, dt$。
  计算得：
  $f(x) = \frac{1}{2} + \left( x - \frac{x^2}{2} \right) = -\frac{x^2}{2} + x + \frac{1}{2}.$

2. 确定与$x$轴的交点

• $x = -1$：显然$f(-1) = 0$。
• $x \geq 0$时：解方程$-\frac{x^2}{2} + x + \frac{1}{2} = 0$，得$x = 1 + \sqrt{2}$（舍去负根）。

3. 计算面积

• 从$-1$到$0$：
  $f(x) \geq 0$，面积为：
  $\int_{-1}^0 \frac{(x+1)^2}{2} \, dx = \frac{1}{6}.$

• 从$0$到$1 + \sqrt{2}$：
  $f(x) \geq 0$，面积为：
  $\int_{0}^{1+\sqrt{2}} \left( -\frac{x^2}{2} + x + \frac{1}{2} \right) \, dx = \frac{5 + 4\sqrt{2}}{6}.$

4. 总面积

将两部分面积相加：
$\frac{1}{6} + \frac{5 + 4\sqrt{2}}{6} = 1 + \frac{2\sqrt{2}}{3}.$