求解方程{(d y)/(d x)=(y)/(x)+cos (y-x)/(x), y(2)=2 ..

考查要点：本题主要考查一阶齐次微分方程的解法，通过变量代换将方程转化为可分离变量的形式，并结合积分技巧求解。

解题核心思路：

1. 识别齐次方程结构：观察到方程中的项$\frac{y}{x}$和$\cos\left(\frac{y-x}{x}\right)$，可尝试令$u = \frac{y}{x}$进行代换。
2. 变量分离：代换后方程简化为关于$u$和$x$的可分离变量方程，通过分离变量积分求解。
3. 应用初始条件：利用$y(2)=2$确定积分常数，最终得到特解。

破题关键点：

• 变量代换的选择：正确选择$u = \frac{y}{x}$简化方程。
• 积分技巧：掌握$\int \sec\theta \, d\theta = \ln|\sec\theta + \tan\theta| + C$的积分公式。
• 化简技巧：利用三角恒等式将结果转化为更简洁的形式。

变量代换与方程简化

令$u = \frac{y}{x}$，则$y = ux$，导数关系为：
$\frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}.$
代入原方程$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \cos\left(\frac{y-x}{x}\right)$，得：
$u + x\frac{du}{dx} = u + \cos(u - 1).$
消去$u$后方程简化为：
$x\frac{du}{dx} = \cos(u - 1).$

分离变量与积分

将方程改写为：
$\frac{du}{\cos(u - 1)} = \frac{dx}{x}.$
两边积分：
$\int \sec(u - 1) \, du = \int \frac{1}{x} \, dx.$
利用积分公式$\int \sec\theta \, d\theta = \ln|\sec\theta + \tan\theta| + C$，得：
$\ln|\sec(u - 1) + \tan(u - 1)| = \ln|x| + C.$

应用初始条件

当$x=2$时，$y=2$，代入$u = \frac{y}{x}$得$u(2) = 1$。代入上式：
$\ln|\sec(0) + \tan(0)| = \ln 2 + C \implies \ln 1 = \ln 2 + C \implies C = -\ln 2.$
因此方程为：
$\ln|\sec(u - 1) + \tan(u - 1)| = \ln|x| - \ln 2.$
化简得：
$\sec(u - 1) + \tan(u - 1) = \frac{x}{2}.$

化简表达式

利用三角恒等式$\sec\theta + \tan\theta = \frac{1 + \sin\theta}{\cos\theta}$，代入$\theta = u - 1$，得：
$\frac{1 + \sin(u - 1)}{\cos(u - 1)} = \frac{x}{2}.$
整理后：
$1 + \sin(u - 1) = \frac{x}{2} \cos(u - 1).$
最后代回$u = \frac{y}{x}$，得到通解：
$1 + \sin\left(\frac{y - x}{x}\right) = \frac{x}{2} \cos\left(\frac{y - x}{x}\right).$