题目
微分方程y''-6y'+9y=(x)^2(e)^3x的待定特解可设为(,,,)A、y''=a(x)^2(e)^3x；B、y''=(x)^2(a(x)^2+bx+c)(e)^3x；C、y''=x(a(x)^2+bx+c)(e)^3x；D、y''=a(x)^4(e)^3x(a，b为待定常数).
微分方程$y''-6y'+9y={x}^{2}{e}^{3x}$的待定特解可设为$\left(\,\,\,\right)$
$A、y''=a{x}^{2}{e}^{3x}$；
$B、y''={x}^{2}\left(a{x}^{2}+bx+c\right){e}^{3x}$；
$C、y''=x\left(a{x}^{2}+bx+c\right){e}^{3x}$；
$D、y''=a{x}^{4}{e}^{3x}$($a$，$b$为待定常数).
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定齐次方程的特征方程
齐次方程$y''-6y'+9y=0$的特征方程为$r^2-6r+9=0$，解得$r=3$，为重根，因此齐次方程的通解为$y_h=(c_1+c_2x)e^{3x}$。
步骤 2：确定非齐次方程的特解形式
由于非齐次项为${x}^{2}{e}^{3x}$，且$e^{3x}$是齐次方程的解，因此特解形式需要乘以$x^2$，即$y_p=x^2(ax^2+bx+c)e^{3x}$。
步骤 3：验证特解形式
将$y_p=x^2(ax^2+bx+c)e^{3x}$代入原方程，验证其是否满足方程。由于$e^{3x}$是齐次方程的解，因此特解形式需要乘以$x^2$，即$y_p=x^2(ax^2+bx+c)e^{3x}$。
齐次方程$y''-6y'+9y=0$的特征方程为$r^2-6r+9=0$，解得$r=3$，为重根，因此齐次方程的通解为$y_h=(c_1+c_2x)e^{3x}$。
步骤 2：确定非齐次方程的特解形式
由于非齐次项为${x}^{2}{e}^{3x}$，且$e^{3x}$是齐次方程的解，因此特解形式需要乘以$x^2$，即$y_p=x^2(ax^2+bx+c)e^{3x}$。
步骤 3：验证特解形式
将$y_p=x^2(ax^2+bx+c)e^{3x}$代入原方程，验证其是否满足方程。由于$e^{3x}$是齐次方程的解，因此特解形式需要乘以$x^2$，即$y_p=x^2(ax^2+bx+c)e^{3x}$。