4、求过点M0(1,2,3)且平行于直线 ) x+y+z+1=0 x+2y+3z+5=0 . 的直线方程

步骤 1：确定直线的方向向量
给定的直线方程为 $\left \{ \begin{matrix} x+y+z+1=0\\ x+2y+3z+5=0\end{matrix} \right.$，我们可以通过求解这两个平面的法向量的叉积来得到直线的方向向量。
平面 $x+y+z+1=0$ 的法向量为 $\vec{n_1} = (1, 1, 1)$，平面 $x+2y+3z+5=0$ 的法向量为 $\vec{n_2} = (1, 2, 3)$。
直线的方向向量 $\vec{d}$ 为 $\vec{n_1}$ 和 $\vec{n_2}$ 的叉积，即 $\vec{d} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$。
计算叉积：
$$
\vec{d} = \begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 3
\end{vmatrix} = (1 \cdot 3 - 1 \cdot 2)\vec{i} - (1 \cdot 3 - 1 \cdot 1)\vec{j} + (1 \cdot 2 - 1 \cdot 1)\vec{k} = (1, -2, 1)
$$
步骤 2：写出直线方程
已知直线的方向向量为 $\vec{d} = (1, -2, 1)$，且直线过点 $M(1, 2, 3)$，则直线的参数方程为：
$$
\left \{ \begin{matrix}
x = 1 + t \\
y = 2 - 2t \\
z = 3 + t
\end{matrix} \right.
$$
其中 $t$ 为参数。
步骤 3：将参数方程转换为一般方程
为了得到直线的一般方程，我们需要消去参数 $t$。从参数方程中，我们可以得到：
$$
t = x - 1
$$
将 $t = x - 1$ 代入 $y = 2 - 2t$ 和 $z = 3 + t$ 中，得到：
$$
y = 2 - 2(x - 1) = 4 - 2x
$$
$$
z = 3 + (x - 1) = x + 2
$$
因此，直线的一般方程为：
$$
\left \{ \begin{matrix}
y = 4 - 2x \\
z = x + 2
\end{matrix} \right.
$$