设f(x)是周期为2pi的周期函数，且f(x)=}-1, & -pi < x < 0, 1, & 0 leq x leq pi,则该函数的傅里叶系数满足(）. A. b_n=0, a_n neq 0B. a_n=0, b_n全不为零C. b_n neq 0, a_n neq 0D. a_n=0, b_n不全为零

为了确定函数 $ f(x) $ 的傅里叶系数，我们首先回顾周期为 $ 2\pi $ 的函数 $ f(x) $ 的傅里叶级数的定义。傅里叶级数由下式给出： \[ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right) \] 其中傅里叶系数 $ a_n $ 和 $ b_n $ 的计算公式为： \[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx \] \[ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx \] 给定函数 $ f(x) $ 为： \[ f(x) = \begin{cases} 0 & \text{if } -\pi < x < 0 \\ 1 & \text{if } 0 \le x \le \pi \end{cases} \] 我们首先计算 $ a_0 $： \[ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx = \frac{1}{\pi} \left( \int_{-\pi}^{0} 0 \, dx + \int_{0}^{\pi} 1 \, dx \right) = \frac{1}{\pi} \left[ x \right]_{0}^{\pi} = \frac{1}{\pi} \cdot \pi = 1 \] 接下来，我们计算 $ a_n $ 对于 $ n \ge 1 $： \[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx = \frac{1}{\pi} \left( \int_{-\pi}^{0} 0 \cdot \cos(nx) \, dx + \int_{0}^{\pi} 1 \cdot \cos(nx) \, dx \right) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \cos(nx) \, dx \] \[ a_n = \frac{1}{\pi} \left[ \frac{\sin(nx)}{n} \right]_{0}^{\pi} = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{\sin(n\pi) - \sin(0)}{n} = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{0}{n} = 0 \] 现在，我们计算 $ b_n $： \[ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx = \frac{1}{\pi} \left( \int_{-\pi}^{0} 0 \cdot \sin(nx) \, dx + \int_{0}^{\pi} 1 \cdot \sin(nx) \, dx \right) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin(nx) \, dx \] \[ b_n = \frac{1}{\pi} \left[ -\frac{\cos(nx)}{n} \right]_{0}^{\pi} = \frac{1}{\pi} \cdot \left( -\frac{\cos(n\pi)}{n} + \frac{\cos(0)}{n} \right) = \frac{1}{\pi} \cdot \left( -\frac{(-1)^n}{n} + \frac{1}{n} \right) = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{1 - (-1)^n}{n} \] 对于 $ n $ 为偶数，$ (-1)^n = 1 $，所以 $ b_n = 0 $。对于 $ n $ 为奇数，$ (-1)^n = -1 $，所以 $ b_n = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{1 - (-1)}{n} = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{2}{n} = \frac{2}{n\pi} $。 因此，$ b_n $ 对于 $ n $ 为奇数时非零，对于 $ n $ 为偶数时为零。这意味着 $ b_n $ 不全为零。 综上所述，傅里叶系数满足 $ a_n = 0 $ 和 $ b_n $ 不全为零。正确答案是： \[ \boxed{D} \]