19 、求曲线 ln y-sin (xy)-x=0 在点(0,1)处的切线方程.

步骤 1：隐函数求导
对给定的隐函数 $y\ln y-\sin (xy)-x=0$，我们首先需要对 $x$ 求导。根据隐函数求导法则，我们对等式两边同时对 $x$ 求导，得到：
$$
\frac{d}{dx}(y\ln y) - \frac{d}{dx}(\sin (xy)) - \frac{d}{dx}(x) = 0
$$
步骤 2：计算导数
根据链式法则和乘积法则，我们分别计算每一项的导数：
$$
\frac{d}{dx}(y\ln y) = \frac{dy}{dx}\ln y + y\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dx}(\ln y + 1)
$$
$$
\frac{d}{dx}(\sin (xy)) = \cos (xy) \cdot \frac{d}{dx}(xy) = \cos (xy) \cdot (y + x\frac{dy}{dx})
$$
$$
\frac{d}{dx}(x) = 1
$$
步骤 3：代入点(0,1)
将上述导数代入原方程，得到：
$$
\frac{dy}{dx}(\ln y + 1) - \cos (xy) \cdot (y + x\frac{dy}{dx}) - 1 = 0
$$
将点(0,1)代入，得到：
$$
\frac{dy}{dx}(0,1) = 1
$$
步骤 4：求切线方程
根据点斜式方程，切线方程为：
$$
y - y_0 = m(x - x_0)
$$
其中，$m$ 为切线的斜率，$m = 1$，点 $(x_0, y_0) = (0, 1)$，代入得到：
$$
y - 1 = 1(x - 0)
$$
化简得到：
$$
y = x + 1
$$