4.8设 R、Z、N 分别表示实数、整数和自然数集，下面定义函数f1 、 f2 、f3 、f4 。试确定它们的性质。f1: R →R，f(x)=2x,f2: Z →N，f(x)=|x|.f3: N →N，f(x)=(x)mod3,x除以 3 的余数，f4: N →N×N，f(n)= 。则 f1 是 A，f2 是 B，f3 是 C， f4 是 D，f4 （ (5) ）=E。供选择的答案A、B、C、 D：①、满射不单射；②、单射不满射；③、双射；④、不单射也不满射；⑤、以上性质都不对。E：⑥、 6；⑦、 5；⑧、 <5,6>; ⑨、 (<5,6>); ⑩、以上答案都不对。

考查要点：本题主要考查函数的单射性、满射性及双射性的判断，以及函数作用于集合时的像的求解。

解题核心思路：

1. 单射：不同输入对应不同输出，即若$f(a)=f(b)$，则$a=b$。
2. 满射：函数的值域覆盖整个陪域，即对任意$y$在陪域中，存在$x$使得$f(x)=y$。
3. 双射：同时满足单射和满射。
4. 函数作用于集合：若函数$f$作用于集合$\{a\}$，则结果为$\{f(a)\}$。

破题关键点：

• f1：判断线性函数$f(x)=2x$在实数集上的映射性质。
• f2：分析绝对值函数$f(x)=|x|$在整数集到自然数集的映射特性。
• f3：余数函数$f(x)=x \mod 3$的值域与自然数集的覆盖关系。
• f4：有序对构造函数$f(n)=⟨n, n+1⟩$的单射性及像的集合形式。

f1: R → R，f(x)=2x

1. 单射性：若$2x_1=2x_2$，则$x_1=x_2$，故单射。
2. 满射性：对任意$y \in \mathbb{R}$，存在$x=y/2 \in \mathbb{R}$使得$f(x)=y$，故满射。
3. 结论：应为双射（选项③），但题目答案为②，可能存在题目描述或答案矛盾。

f2: Z → N，f(x)=|x|

1. 单射性：$|1|=|{-1}|=1$，不同输入映射到相同输出，故非单射。
2. 满射性：对任意$n \in \mathbb{N}$，取$x=n \in \mathbb{Z}$，则$f(x)=n$，故满射。
3. 结论：满射不单射（选项①）。

f3: N → N，f(x)=x mod3

1. 单射性：$3 \mod 3=0$，$6 \mod 3=0$，不同输入映射到相同输出，故非单射。
2. 满射性：值域为$\{0,1,2\}$，无法覆盖$\mathbb{N}$中的所有元素（如3,4等），故非满射。
3. 结论：不单射也不满射（选项④）。

f4: N → N×N，f(n)=⟨n, n+1⟩

1. 单射性：若$⟨n_1, n_1+1⟩=⟨n_2, n_2+1⟩$，则$n_1=n_2$，故单射。
2. 满射性：仅能映射到形如$⟨k, k+1⟩$的有序对，无法覆盖$\mathbb{N} \times \mathbb{N}$中所有元素（如$⟨2,4⟩$），故非满射。
3. 结论：单射不满射（选项②）。
4. f4({5})：$f(5)=⟨5,6⟩$，像的集合为$\{⟨5,6⟩\}$，对应选项⑨。