10 (10分)设Ω是由曲线{}y=z^2x=0.绕y轴旋转形成的曲面与平面y=1围成的立体，求三重积分iiintlimits_(Omega)(x^2+y+z^2)dv

考查要点：本题主要考查三重积分在柱坐标系下的计算，以及旋转曲面立体区域的描述。

解题核心思路：

1. 确定积分区域：由曲线绕y轴旋转形成的曲面与平面围成的立体，需转化为柱坐标系下的描述。
2. 选择坐标系：由于曲面由绕y轴旋转生成，柱坐标系（$x=r\cos\theta, z=r\sin\theta$）能简化积分表达式。
3. 转换被积函数：利用柱坐标系下$x^2 + z^2 = r^2$，简化被积函数。
4. 分步积分：按柱坐标系的积分顺序（$\theta \rightarrow r \rightarrow y$）逐层计算。

破题关键点：

• 曲面方程转换：原曲线$y=z^2$绕y轴旋转后变为$y=r^2$。
• 积分限确定：$0 \leq \theta \leq 2\pi$，$0 \leq r \leq \sqrt{y}$，$0 \leq y \leq 1$。

步骤1：转换积分区域与被积函数

1. 柱坐标系转换：
   $x = r\cos\theta$，$z = r\sin\theta$，$y = y$，体积元素$dv = r\,dy\,dr\,d\theta$。
2. 积分区域：
   • $\theta$：绕y轴旋转，范围$0 \leq \theta \leq 2\pi$。
   • $r$：由曲面$y = r^2$得$r = \sqrt{y}$，故$0 \leq r \leq \sqrt{y}$。
   • $y$：被平面$y=1$限制，范围$0 \leq y \leq 1$。
3. 被积函数简化：
   $x^2 + y + z^2 = r^2 + y$。

步骤2：建立三重积分表达式

积分转换为：
$\int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_0^{\sqrt{y}} (r^2 + y) \cdot r \, dr \, dy \, d\theta$

步骤3：逐层积分计算

1. 对$r$积分：
   $\int_0^{\sqrt{y}} (r^3 + yr) \, dr = \left[ \frac{r^4}{4} + \frac{yr^2}{2} \right]_0^{\sqrt{y}} = \frac{3y^2}{4}$
2. 对$y$积分：
   $\int_0^1 \frac{3y^2}{4} \, dy = \frac{1}{4}$
3. 对$\theta$积分：
   $\int_0^{2\pi} \frac{1}{4} \, d\theta = \frac{\pi}{2}$