题目
每次试验成功率为p(0A. C_(10)^4p^4(1-p)^6B. C_(9)^3p^4(1-p)^6C. C_(9)^4p^4(1-p)^5D. C_(9)^3p^3(1-p)^6
每次试验成功率为$p(0< p< 1)$，进行独立重复的试验，直到第10次试验才取得4次成功的概率为____.
A. $C_{10}^{4}p^{4}(1-p)^{6}$
B. $C_{9}^{3}p^{4}(1-p)^{6}$
C. $C_{9}^{4}p^{4}(1-p)^{5}$
D. $C_{9}^{3}p^{3}(1-p)^{6}$
题目解答
答案
B. $C_{9}^{3}p^{4}(1-p)^{6}$
解析
考查要点：本题主要考查负二项分布的应用，即求在独立重复试验中，直到第$n$次试验才取得第$r$次成功的概率。
解题核心思路：
- 关键条件：第10次试验必须是第4次成功，因此前9次试验中恰好有3次成功，且第10次试验成功。
- 分步计算：
- 前9次试验中成功3次的概率（二项分布）；
- 第10次试验成功的概率；
- 将两部分概率相乘得到最终结果。
破题关键点：
- 明确“直到第10次才成功4次”隐含的两个独立事件；
- 正确应用组合数公式计算前9次试验的可能情况数。
步骤1：分析事件构成
要“直到第10次试验才取得第4次成功”，必须满足：
- 前9次试验中恰好有3次成功；
- 第10次试验成功。
步骤2：计算前9次试验的概率
前9次试验中成功3次的概率服从二项分布：
$\binom{9}{3} p^3 (1-p)^6$
其中，$\binom{9}{3}$表示从9次试验中选择3次成功的方式数。
步骤3：计算第10次试验的概率
第10次试验必须成功，概率为$p$。
步骤4：合并总概率
将两部分概率相乘：
$\binom{9}{3} p^3 (1-p)^6 \cdot p = \binom{9}{3} p^4 (1-p)^6$
选项匹配：
对应选项B：$\boxed{B}$。