求下列函数的导数 ( 1 ) =sin dfrac (1)(x)( 2 )=sin dfrac (1)(x)( 3 )=sin dfrac (1)(x)

考查要点：本题主要考查复合函数的导数计算，涉及链式法则的应用，以及基本初等函数的导数公式。

解题思路：

1. 识别复合结构：确定外层函数和内层函数；
2. 逐层求导：外层函数导数乘以内层函数导数；
3. 特殊函数导数：如$\arctan x$、$\ln u$等的导数公式需准确记忆。

关键点：

• 链式法则的正确应用，注意符号和系数；
• 中间变量替换可简化计算；
• 化简结果时注意三角恒等式的使用。

(1) $y = \sin \dfrac{1}{x}$

步骤1：识别复合结构

外层函数：$\sin u$，其中$u = \dfrac{1}{x}$（即$u = x^{-1}$）。

步骤2：逐层求导

• 外层导数：$\cos u \cdot u' = \cos \dfrac{1}{x} \cdot \left( x^{-1} \right)'$；
• 内层导数：$\left( x^{-1} \right)' = -x^{-2} = -\dfrac{1}{x^2}$。

步骤3：组合结果

$y' = \cos \dfrac{1}{x} \cdot \left( -\dfrac{1}{x^2} \right) = -\dfrac{1}{x^2} \cos \dfrac{1}{x}$

注意：用户答案中符号错误，正确结果应为负号。

(2) $y = \arctan x$

步骤1：应用基本导数公式

$\arctan x$的导数为$\dfrac{1}{1 + x^2}$。

步骤2：直接写出结果

$y' = \dfrac{1}{1 + x^2}$

注意：用户答案中出现系数$2$，可能是题目误写为$y = (\arctan x)^2$。若原题为$\arctan x$，则答案错误。

(3) $y = \ln [\cos (2x)]$

步骤1：识别复合结构

外层函数：$\ln u$，其中$u = \cos v$，$v = 2x$。

步骤2：逐层求导

• 外层导数：$\dfrac{1}{u} \cdot u' = \dfrac{1}{\cos 2x} \cdot (-\sin 2x) \cdot (2x)'$；
• 中间导数：$(-\sin 2x) \cdot 2$；
• 最内层导数：$(2x)' = 2$。

步骤3：组合并化简

$y' = \dfrac{1}{\cos 2x} \cdot (-\sin 2x) \cdot 2 = -2 \tan 2x$