题目
3.lim_(xto+infty)(x^(2)/(x)-1)^(2)/(ln x)=____.
3.$\lim_{x\to+\infty}(x^{\frac{2}{x}}-1)^{\frac{2}{\ln x}}=$____.
题目解答
答案
为了求解极限 $\lim_{x\to+\infty}(x^{\frac{2}{x}}-1)^{\frac{2}{\ln x}}$，我们首先需要分析表达式内部的 behavior。
1. **分析 $x^{\frac{2}{x}}$ 当 $x \to +\infty$ 时的极限:**
考虑 $y = x^{\frac{2}{x}}$。取自然对数，得到:
\[
\ln y = \ln \left( x^{\frac{2}{x}} \right) = \frac{2}{x} \ln x.
\]
当 $x \to +\infty$ 时，$\frac{\ln x}{x} \to 0$（因为 $\ln x$ 的增长速度远慢于 $x$），所以:
\[
\ln y \to 2 \cdot 0 = 0.
\]
因此，$y \to e^0 = 1$。即:
\[
\lim_{x \to +\infty} x^{\frac{2}{x}} = 1.
\]
2. **分析 $x^{\frac{2}{x}} - 1$ 当 $x \to +\infty$ 时的极限:**
由于 $x^{\frac{2}{x}} \to 1$，所以 $x^{\frac{2}{x}} - 1 \to 0$。为了得到更精确的估计，我们可以使用泰勒展开。对于 $x$ 充分大，$\frac{2}{x}$ 很小，可以将 $x^{\frac{2}{x}}$ 在 $x = \infty$ 附近展开:
\[
x^{\frac{2}{x}} = e^{\frac{2 \ln x}{x}} \approx 1 + \frac{2 \ln x}{x}.
\]
因此:
\[
x^{\frac{2}{x}} - 1 \approx \frac{2 \ln x}{x}.
\]
3. **求解原极限:**
现在，原极限可以近似为:
\[
\lim_{x \to +\infty} \left( x^{\frac{2}{x}} - 1 \right)^{\frac{2}{\ln x}} \approx \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{2 \ln x}{x} \right)^{\frac{2}{\ln x}}.
\]
令 $y = \left( \frac{2 \ln x}{x} \right)^{\frac{2}{\ln x}}$。取自然对数，得到:
\[
\ln y = \frac{2}{\ln x} \ln \left( \frac{2 \ln x}{x} \right) = \frac{2}{\ln x} \left( \ln 2 + \ln \ln x - \ln x \right) = \frac{2 \ln 2}{\ln x} + \frac{2 \ln \ln x}{\ln x} - 2.
\]
当 $x \to +\infty$ 时，$\frac{\ln 2}{\ln x} \to 0$ 和 $\frac{\ln \ln x}{\ln x} \to 0$，所以:
\[
\ln y \to -2.
\]
因此，$y \to e^{-2}$。即:
\[
\lim_{x \to +\infty} \left( x^{\frac{2}{x}} - 1 \right)^{\frac{2}{\ln x}} = e^{-2} = \frac{1}{e^2}.
\]
最终答案是:
\[
\boxed{\frac{1}{e^2}}.
\]
解析
步骤 1：分析 $x^{\frac{2}{x}}$ 当 $x \to +\infty$ 时的极限
考虑 $y = x^{\frac{2}{x}}$。取自然对数，得到: \[ \ln y = \ln \left( x^{\frac{2}{x}} \right) = \frac{2}{x} \ln x. \] 当 $x \to +\infty$ 时，$\frac{\ln x}{x} \to 0$（因为 $\ln x$ 的增长速度远慢于 $x$），所以: \[ \ln y \to 2 \cdot 0 = 0. \] 因此，$y \to e^0 = 1$。即: \[ \lim_{x \to +\infty} x^{\frac{2}{x}} = 1. \]
步骤 2：分析 $x^{\frac{2}{x}} - 1$ 当 $x \to +\infty$ 时的极限
由于 $x^{\frac{2}{x}} \to 1$，所以 $x^{\frac{2}{x}} - 1 \to 0$。为了得到更精确的估计，我们可以使用泰勒展开。对于 $x$ 充分大，$\frac{2}{x}$ 很小，可以将 $x^{\frac{2}{x}}$ 在 $x = \infty$ 附近展开: \[ x^{\frac{2}{x}} = e^{\frac{2 \ln x}{x}} \approx 1 + \frac{2 \ln x}{x}. \] 因此: \[ x^{\frac{2}{x}} - 1 \approx \frac{2 \ln x}{x}. \]
步骤 3：求解原极限
现在，原极限可以近似为: \[ \lim_{x \to +\infty} \left( x^{\frac{2}{x}} - 1 \right)^{\frac{2}{\ln x}} \approx \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{2 \ln x}{x} \right)^{\frac{2}{\ln x}}. \] 令 $y = \left( \frac{2 \ln x}{x} \right)^{\frac{2}{\ln x}}$。取自然对数，得到: \[ \ln y = \frac{2}{\ln x} \ln \left( \frac{2 \ln x}{x} \right) = \frac{2}{\ln x} \left( \ln 2 + \ln \ln x - \ln x \right) = \frac{2 \ln 2}{\ln x} + \frac{2 \ln \ln x}{\ln x} - 2. \] 当 $x \to +\infty$ 时，$\frac{\ln 2}{\ln x} \to 0$ 和 $\frac{\ln \ln x}{\ln x} \to 0$，所以: \[ \ln y \to -2. \] 因此，$y \to e^{-2}$。即: \[ \lim_{x \to +\infty} \left( x^{\frac{2}{x}} - 1 \right)^{\frac{2}{\ln x}} = e^{-2} = \frac{1}{e^2}. \]
考虑 $y = x^{\frac{2}{x}}$。取自然对数，得到: \[ \ln y = \ln \left( x^{\frac{2}{x}} \right) = \frac{2}{x} \ln x. \] 当 $x \to +\infty$ 时，$\frac{\ln x}{x} \to 0$（因为 $\ln x$ 的增长速度远慢于 $x$），所以: \[ \ln y \to 2 \cdot 0 = 0. \] 因此，$y \to e^0 = 1$。即: \[ \lim_{x \to +\infty} x^{\frac{2}{x}} = 1. \]
步骤 2：分析 $x^{\frac{2}{x}} - 1$ 当 $x \to +\infty$ 时的极限
由于 $x^{\frac{2}{x}} \to 1$，所以 $x^{\frac{2}{x}} - 1 \to 0$。为了得到更精确的估计，我们可以使用泰勒展开。对于 $x$ 充分大，$\frac{2}{x}$ 很小，可以将 $x^{\frac{2}{x}}$ 在 $x = \infty$ 附近展开: \[ x^{\frac{2}{x}} = e^{\frac{2 \ln x}{x}} \approx 1 + \frac{2 \ln x}{x}. \] 因此: \[ x^{\frac{2}{x}} - 1 \approx \frac{2 \ln x}{x}. \]
步骤 3：求解原极限
现在，原极限可以近似为: \[ \lim_{x \to +\infty} \left( x^{\frac{2}{x}} - 1 \right)^{\frac{2}{\ln x}} \approx \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{2 \ln x}{x} \right)^{\frac{2}{\ln x}}. \] 令 $y = \left( \frac{2 \ln x}{x} \right)^{\frac{2}{\ln x}}$。取自然对数，得到: \[ \ln y = \frac{2}{\ln x} \ln \left( \frac{2 \ln x}{x} \right) = \frac{2}{\ln x} \left( \ln 2 + \ln \ln x - \ln x \right) = \frac{2 \ln 2}{\ln x} + \frac{2 \ln \ln x}{\ln x} - 2. \] 当 $x \to +\infty$ 时，$\frac{\ln 2}{\ln x} \to 0$ 和 $\frac{\ln \ln x}{\ln x} \to 0$，所以: \[ \ln y \to -2. \] 因此，$y \to e^{-2}$。即: \[ \lim_{x \to +\infty} \left( x^{\frac{2}{x}} - 1 \right)^{\frac{2}{\ln x}} = e^{-2} = \frac{1}{e^2}. \]