题目

16. 求极限：lim_(xto2)(sqrt(x^2)+5-3)/(x-2).

16. 求极限：$\lim_{x\to2}\frac{\sqrt{x^{2}+5}-3}{x-2}.$

题目解答

答案

将分子有理化，得 $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x^2 + 5} - 3}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x^2 + 5) - 9}{(x - 2)(\sqrt{x^2 + 5} + 3)} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)(\sqrt{x^2 + 5} + 3)}$ 消去公因子 $x - 2$（$x \neq 2$），得 $\lim_{x \to 2} \frac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 5} + 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ 或者，使用洛必达法则，分子分母求导后得 $\lim_{x \to 2} \frac{\frac{x}{\sqrt{x^2 + 5}}}{1} = \frac{2}{3}$ 答案： $\boxed{\frac{2}{3}}$

解析

考查要点：本题主要考查分式极限的求解方法，特别是处理0/0型不定式的技巧，如分子有理化或洛必达法则的应用。

解题核心思路：
当直接代入$x=2$导致分母为0时，需通过变形消除分母中的零因子。分子有理化通过构造共轭表达式消去根号，简化分式；洛必达法则则通过求导消去不定式形式。

破题关键点：

  1. 识别0/0型不定式，选择合适方法。
  2. 分子有理化后，约去公因子$x-2$，将复杂分式转化为可直接代入的形式。
  3. 洛必达法则的正确应用需确保分子分母在$x=2$处可导。

方法一：分子有理化

  1. 构造共轭表达式：
    分子$\sqrt{x^2 + 5} - 3$与$\sqrt{x^2 + 5} + 3$相乘，分母同步乘以相同表达式：
    $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x^2 + 5} - 3}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(\sqrt{x^2 + 5} - 3)(\sqrt{x^2 + 5} + 3)}{(x - 2)(\sqrt{x^2 + 5} + 3)}.$

  2. 展开分子：
    利用平方差公式，分子变为：
    $(\sqrt{x^2 + 5})^2 - 3^2 = (x^2 + 5) - 9 = x^2 - 4.$

  3. 分解因式：
    分子$x^2 - 4$可分解为$(x - 2)(x + 2)$，分式化简为：
    $\lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)(\sqrt{x^2 + 5} + 3)}.$

  4. 约去公因子：
    $x \neq 2$时，约去$x - 2$，得：
    $\lim_{x \to 2} \frac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 5} + 3}.$

  5. 代入计算：
    直接代入$x=2$，得：
    $\frac{2 + 2}{\sqrt{2^2 + 5} + 3} = \frac{4}{3 + 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.$

方法二：洛必达法则

  1. 验证条件：
    当$x \to 2$时，分子$\sqrt{x^2 + 5} - 3 \to 0$，分母$x - 2 \to 0$，满足0/0型不定式。

  2. 求导分子分母：

    • 分子导数：$\frac{d}{dx} (\sqrt{x^2 + 5}) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 5}}$
    • 分母导数：$\frac{d}{dx} (x - 2) = 1$

  3. 应用洛必达法则：
    $\lim_{x \to 2} \frac{\frac{x}{\sqrt{x^2 + 5}}}{1} = \frac{2}{\sqrt{2^2 + 5}} = \frac{2}{3}.$