3.1 计算积分 (int )_(0)^1+t[ (x-y)+i(x)^2] dz. 积分路径为:-|||-(1)自原点至 1+i 的直线段;-|||-(2)自原点沿实轴至1,再由1铅直向上至 https:/img.zuoyebang.cc/zyb_7f31c991a52e7f34ce61dea0a7953642.jpg+i;-|||-(3)自原点沿虚轴至i,再由i沿水平方向向右至 https:/img.zuoyebang.cc/zyb_7f31c991a52e7f34ce61dea0a7953642.jpg+i.

步骤 1：积分路径 (1) 自原点至 1+i 的直线段
- 设 $z = x + iy$，则 $dz = dx + i dy$。
- 直线段可以表示为 $z = t + it$，其中 $t$ 从 0 变到 1。
- 因此，$x = t$，$y = t$，$dz = (1 + i) dt$。
- 积分变为 $\int_{0}^{1} [(t - t) + i t^2] (1 + i) dt = \int_{0}^{1} i t^2 (1 + i) dt$。
- 计算积分 $\int_{0}^{1} i t^2 (1 + i) dt = i \int_{0}^{1} t^2 dt + i^2 \int_{0}^{1} t^2 dt = i \frac{1}{3} - \frac{1}{3} = -\frac{1}{3} + \frac{1}{3}i$。

步骤 2：积分路径 (2) 自原点沿实轴至1,再由1铅直向上至 1+i
- 第一段路径：$z = x$，$dz = dx$，$x$ 从 0 变到 1。
- 第二段路径：$z = 1 + iy$，$dz = i dy$，$y$ 从 0 变到 1。
- 第一段积分：$\int_{0}^{1} [(x - 0) + i x^2] dx = \int_{0}^{1} x dx + i \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{2} + i \frac{1}{3}$。
- 第二段积分：$\int_{0}^{1} [(1 - y) + i 1^2] i dy = i \int_{0}^{1} (1 - y) dy + i^2 \int_{0}^{1} dy = i \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$。
- 总积分：$\frac{1}{2} + i \frac{1}{3} + i \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{5}{6}i$。

步骤 3：积分路径 (3) 自原点沿虚轴至i,再由i沿水平方向向右至 $1+i$
- 第一段路径：$z = iy$，$dz = i dy$，$y$ 从 0 变到 1。
- 第二段路径：$z = x + i$，$dz = dx$，$x$ 从 0 变到 1。
- 第一段积分：$\int_{0}^{1} [(0 - y) + i 0^2] i dy = -i \int_{0}^{1} y dy = -i \frac{1}{2}$。
- 第二段积分：$\int_{0}^{1} [(x - 1) + i x^2] dx = \int_{0}^{1} (x - 1) dx + i \int_{0}^{1} x^2 dx = -\frac{1}{2} + i \frac{1}{3}$。
- 总积分：$-i \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + i \frac{1}{3} = -\frac{1}{2} - \frac{1}{6}i$。