) lim _(xarrow +infty )(sqrt ({x)^2+x}-sqrt ({x)^2-x});

考查要点：本题主要考查无穷大极限的计算，特别是处理根号相减的未定式（∞ - ∞）的方法。关键在于通过有理化将表达式转化为可求极限的形式。

解题核心思路：

1. 有理化：将原式乘以共轭表达式，利用平方差公式消除根号相减的复杂结构。
2. 化简表达式：通过提取公因子$x$，将分母中的根号表达式转化为与$\frac{1}{x}$相关的项。
3. 代入极限：当$x \rightarrow +\infty$时，$\frac{1}{x} \rightarrow 0$，进一步简化分母，最终求得极限值。

破题关键点：

• 正确应用有理化技巧，将分子分母同时乘以共轭表达式。
• 准确展开根号表达式，注意$x$的正负号对根号的影响。
• 合理处理无穷小量，忽略高阶无穷小项，简化计算。

步骤1：有理化处理
原式为$\sqrt{x^2 + x} - \sqrt{x^2 - x}$，乘以共轭表达式$\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 - x}$：
$\begin{aligned}\lim_{x \rightarrow +\infty} \left( \sqrt{x^2 + x} - \sqrt{x^2 - x} \right) &= \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{(\sqrt{x^2 + x} - \sqrt{x^2 - x})(\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 - x})}{\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 - x}} \\&= \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{(x^2 + x) - (x^2 - x)}{\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 - x}} \\&= \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{2x}{\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 - x}}.\end{aligned}$

步骤2：化简分母
将分母中的根号表达式提取$x$：
$\sqrt{x^2 + x} = x \sqrt{1 + \frac{1}{x}}, \quad \sqrt{x^2 - x} = x \sqrt{1 - \frac{1}{x}}.$
代入后分母为：
$x \left( \sqrt{1 + \frac{1}{x}} + \sqrt{1 - \frac{1}{x}} \right).$
因此，原式化简为：
$\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{2x}{x \left( \sqrt{1 + \frac{1}{x}} + \sqrt{1 - \frac{1}{x}} \right)} = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{2}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + \sqrt{1 - \frac{1}{x}}}.$

步骤3：代入极限
当$x \rightarrow +\infty$时，$\frac{1}{x} \rightarrow 0$，故：
$\sqrt{1 + \frac{1}{x}} \rightarrow 1, \quad \sqrt{1 - \frac{1}{x}} \rightarrow 1.$
因此，极限值为：
$\frac{2}{1 + 1} = 1.$