题目
1.设随机变量X的概率分布列为 dfrac (x)(p)|dfrac (-1)(2a2a), 求(1)常数a的值(2)X的分布函-|||-数(3)-|||-(-1leqslant xleqslant dfrac (3)(2))-|||-(4) =((x-1))^2 的分布列
题目解答
答案
解析
步骤 1：求常数a的值
根据离散型随机变量的分布列的性质，所有可能取值的概率之和等于1。因此，我们有：
$$2a + 2a + a = 1$$
解这个方程，得到：
$$5a = 1$$
$$a = \frac{1}{5}$$
步骤 2：求X的分布函数
分布函数F(x)定义为随机变量X取值小于等于x的概率。根据X的分布列，我们可以写出分布函数F(x)：
$$F(x) = \begin{cases}
0, & x < -1 \\
\frac{2}{5}, & -1 \leq x < 0 \\
\frac{4}{5}, & 0 \leq x < 3 \\
1, & x \geq 3
\end{cases}$$
步骤 3：求 $P(-1\leqslant X\leqslant \dfrac {3}{2})$
根据分布列，我们可以直接计算这个概率：
$$P(-1\leqslant X\leqslant \dfrac {3}{2}) = P(X=-1) + P(X=0) = 2a + 2a = 4a = \frac{4}{5}$$
步骤 4：求 $Y={(X-1)}^{2}$ 的分布列
首先，我们计算Y的可能取值：
- 当X=-1时，$Y={(X-1)}^{2}={( -1-1)}^{2}=4$
- 当X=0时，$Y={(X-1)}^{2}={( 0-1)}^{2}=1$
- 当X=3时，$Y={(X-1)}^{2}={( 3-1)}^{2}=4$
因此，Y的分布列为：
$$\dfrac {Y}{p}|\dfrac {1\quad 4}{2a\quad 3a}$$
将a的值代入，得到：
$$\dfrac {Y}{p}|\dfrac {1\quad 4}{\frac{2}{5}\quad \frac{3}{5}}$$
根据离散型随机变量的分布列的性质，所有可能取值的概率之和等于1。因此，我们有：
$$2a + 2a + a = 1$$
解这个方程，得到：
$$5a = 1$$
$$a = \frac{1}{5}$$
步骤 2：求X的分布函数
分布函数F(x)定义为随机变量X取值小于等于x的概率。根据X的分布列，我们可以写出分布函数F(x)：
$$F(x) = \begin{cases}
0, & x < -1 \\
\frac{2}{5}, & -1 \leq x < 0 \\
\frac{4}{5}, & 0 \leq x < 3 \\
1, & x \geq 3
\end{cases}$$
步骤 3：求 $P(-1\leqslant X\leqslant \dfrac {3}{2})$
根据分布列，我们可以直接计算这个概率：
$$P(-1\leqslant X\leqslant \dfrac {3}{2}) = P(X=-1) + P(X=0) = 2a + 2a = 4a = \frac{4}{5}$$
步骤 4：求 $Y={(X-1)}^{2}$ 的分布列
首先，我们计算Y的可能取值：
- 当X=-1时，$Y={(X-1)}^{2}={( -1-1)}^{2}=4$
- 当X=0时，$Y={(X-1)}^{2}={( 0-1)}^{2}=1$
- 当X=3时，$Y={(X-1)}^{2}={( 3-1)}^{2}=4$
因此，Y的分布列为：
$$\dfrac {Y}{p}|\dfrac {1\quad 4}{2a\quad 3a}$$
将a的值代入，得到：
$$\dfrac {Y}{p}|\dfrac {1\quad 4}{\frac{2}{5}\quad \frac{3}{5}}$$