int dfrac ({x)^3}(9+{x)^2}dx

考查要点：本题主要考查分式积分的处理方法，特别是如何通过代数变形将复杂分式转化为简单分式进行积分。

解题核心思路：
观察到分子为$x^3$，分母为$x^2 + 9$，可尝试将分子拆分为$x(x^2 + 9 - 9)$，从而将原式拆分为两个容易积分的部分。
关键点：

1. 分子拆分：将$x^3$表示为$x(x^2 + 9 - 9)$，使分母$x^2 + 9$部分分离。
2. 分项积分：拆分后分别对$\int x \, dx$和$\int \frac{x}{x^2 + 9} \, dx$进行积分，后者可通过变量替换快速求解。

步骤1：分子拆分
将分子$x^3$改写为$x(x^2 + 9 - 9)$：
$\int \frac{x^3}{x^2 + 9} \, dx = \int \frac{x(x^2 + 9 - 9)}{x^2 + 9} \, dx.$

步骤2：分项拆分
将分式拆分为两部分：
$= \int \frac{x(x^2 + 9)}{x^2 + 9} \, dx - \int \frac{9x}{x^2 + 9} \, dx = \int x \, dx - 9 \int \frac{x}{x^2 + 9} \, dx.$

步骤3：分别积分

1. 第一项积分：
   $\int x \, dx = \frac{1}{2}x^2 + C_1.$

2. 第二项积分：令$u = x^2 + 9$，则$du = 2x \, dx$，即$x \, dx = \frac{1}{2} du$：
   $\int \frac{x}{x^2 + 9} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \, du = \frac{1}{2} \ln |u| + C_2 = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 9) + C_2.$

步骤4：合并结果
将两部分结果合并：
$\frac{1}{2}x^2 - 9 \cdot \frac{1}{2} \ln(x^2 + 9) + C = \frac{1}{2}x^2 - \frac{9}{2} \ln(x^2 + 9) + C.$