函数 f(x,y)=x^3+3xy^2 在点 (1,1)处的梯度为A. 6i - 6jB. 5i - 5jC. 6i + 6jD. 5i + 5j

步骤 1：计算偏导数
首先，我们需要计算函数 \(f(x,y)=x^{3}+3xy^{2}\) 在点 (1,1) 处的偏导数。偏导数是函数在某一点处沿坐标轴方向的变化率。
- 对于 \(x\) 的偏导数，我们有 \(\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^{2} + 3y^{2}\)。
- 对于 \(y\) 的偏导数，我们有 \(\frac{\partial f}{\partial y} = 6xy\)。

步骤 2：计算梯度
梯度是一个向量，其分量是函数在该点处的偏导数。因此，梯度 \(\nabla f(x,y) = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)\)。
- 在点 (1,1) 处，\(\frac{\partial f}{\partial x} = 3(1)^{2} + 3(1)^{2} = 6\)。
- 在点 (1,1) 处，\(\frac{\partial f}{\partial y} = 6(1)(1) = 6\)。
因此，梯度为 \(6i + 6j\)。