1. 当 x=1,-1,2 时， f(x)=0,-3,4, 求f(x)的二次插值多项式. (1)用单项式基底. (2) 用拉格朗日插值基底. (3) 用牛顿基底. 证明三种方法得到的多项式是相同的.

考查要点：本题主要考查二次插值多项式的三种构造方法（单项式基底、拉格朗日基底、牛顿基底）的应用，以及通过不同方法得到多项式一致性的证明。

解题核心思路：

1. 单项式基底法：通过建立线性方程组求解多项式系数。
2. 拉格朗日基底法：构造基函数并线性组合。
3. 牛顿基底法：利用差商逐步构建多项式。
4. 一致性证明：将三种方法得到的多项式展开整理，验证系数相同。

破题关键点：

• 正确代入插值条件（单项式法）。
• 准确计算基函数（拉格朗日法）。
• 正确计算差商（牛顿法）。
• 展开并整理多项式，对比系数。

(1) 单项式基底法

设二次多项式为 $p_2(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2$，代入三个插值点：
$\begin{cases}a_0 + a_1 + a_2 = 0, \\a_0 - a_1 + a_2 = -3, \\a_0 + 2a_1 + 4a_2 = 4.\end{cases}$
解方程组：

1. 消元法：通过加减消去 $a_0$，解得 $a_2 = \frac{5}{6}$，$a_1 = \frac{3}{2}$，$a_0 = -\frac{7}{3}$。
2. 结果：$p_2(x) = -\frac{7}{3} + \frac{3}{2}x + \frac{5}{6}x^2$。

(2) 拉格朗日基底法

构造三个基函数：

1. $l_0(x)$：
   $l_0(x) = \frac{(x+1)(x-2)}{(1+1)(1-2)} = -\frac{1}{2}(x+1)(x-2).$
2. $l_1(x)$：
   $l_1(x) = \frac{(x-1)(x-2)}{(-1-1)(-1-2)} = \frac{1}{6}(x-1)(x-2).$
3. $l_2(x)$：
   $l_2(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{(2-1)(2+1)} = \frac{1}{3}(x-1)(x+1).$
   组合多项式：
   $p_2(x) = 0 \cdot l_0(x) + (-3) \cdot l_1(x) + 4 \cdot l_2(x) = -\frac{1}{2}(x+1)(x-2) + \frac{4}{3}(x-1)(x+1).$
   展开整理：
   $p_2(x) = -\frac{7}{3} + \frac{3}{2}x + \frac{5}{6}x^2.$

(3) 牛顿基底法

1. 计算差商：
   • 零阶差商：$f[x_0] = 0$。
   • 一阶差商：$f[x_0, x_1] = \frac{-3-0}{-1-1} = \frac{3}{2}$，$f[x_1, x_2] = \frac{4+3}{2+1} = \frac{7}{3}$。
   • 二阶差商：$f[x_0, x_1, x_2] = \frac{\frac{7}{3} - \frac{3}{2}}{2-1} = \frac{5}{6}$。
2. 构造多项式：
   $p_2(x) = 0 + \frac{3}{2}(x-1) + \frac{5}{6}(x-1)(x+1).$
   展开整理：
   $p_2(x) = -\frac{7}{3} + \frac{3}{2}x + \frac{5}{6}x^2.$

一致性证明：三种方法展开后均为 $-\frac{7}{3} + \frac{3}{2}x + \frac{5}{6}x^2$，故结果相同。