下列关于初等矩阵说法正确的是()A. 所对应的行列式的值等于1B. 相加仍为初等矩阵C. 都可以经过初等变换化为单位矩阵D. 相乘仍为初等矩阵

初等矩阵是由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵，其核心性质包括：

1. 可逆性：初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵仍为初等矩阵；
2. 初等变换的逆操作：通过对应的逆变换可还原为单位矩阵；
3. 行列式性质：行列式的值由变换类型决定（如行交换行列式为$-1$，行缩放行列式为缩放因子）；
4. 乘积性质：多个初等矩阵的乘积对应多次初等变换，但结果不一定是初等矩阵。

关键破题点：

• 选项C的正确性基于初等矩阵可通过逆变换恢复为单位矩阵；
• 选项A、B、D需结合初等矩阵的行列式、加法封闭性、乘法封闭性进行排除。

选项分析

A. 所对应的行列式的值等于1

• 错误。初等矩阵的行列式值由变换类型决定：
  • 行交换：行列式为$-1$；
  • 行缩放$k$倍：行列式为$k$；
  • 行加另一行的倍数：行列式为$1$。
    因此，并非所有初等矩阵的行列式都为1。

B. 相加仍为初等矩阵

• 错误。初等矩阵的加法不保持初等性。例如：
  $E = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},\quad F = \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$
  均为初等矩阵，但$E + F = \begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}$ 不是初等矩阵。

C. 都可以经过初等变换化为单位矩阵

• 正确。初等矩阵由单位矩阵一次变换得到，通过对应的逆变换即可恢复为单位矩阵。例如：
  • 若原变换为“第1行加第2行的$2$倍”，则逆变换为“第1行减第2行的$2$倍”。

D. 相乘仍为初等矩阵

• 错误。初等矩阵的乘积对应多次初等变换，但结果可能需要多次变换才能表示。例如：
  $E_1 = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\quad (行交换),\quad E_2 = \begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}\quad (行加变换)$
  乘积$E_1E_2 = \begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}$ 不是初等矩阵。