题目
20.证明[a,b]上的全体连续函数组成的集合C[a,b]的基数为c.
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义连续函数集合
定义[a,b]上的全体连续函数组成的集合为C[a,b]。我们需要证明这个集合的基数为c，即实数集的基数。
步骤 2：构造从C[a,b]到[0,1]的映射
构造一个从C[a,b]到[0,1]的映射。考虑[a,b]上的全体连续函数f(x)，我们可以定义一个映射F，使得F(f) = f(c)，其中c是[a,b]上的某个固定点。这样，F将C[a,b]中的每个函数映射到[0,1]中的一个值。
步骤 3：证明映射F是满射
为了证明F是满射，我们需要证明对于[0,1]中的每个值y，都存在一个连续函数f(x)使得F(f) = y。考虑一个常数函数f(x) = y，显然f(x)是连续的，且F(f) = y。因此，F是满射。
步骤 4：证明映射F是单射
为了证明F是单射，我们需要证明对于C[a,b]中的任意两个不同的函数f(x)和g(x)，都有F(f) ≠ F(g)。假设存在两个不同的函数f(x)和g(x)，使得F(f) = F(g)。这意味着f(c) = g(c)。但是，由于f(x)和g(x)是不同的连续函数，它们在[a,b]上的取值不可能完全相同。因此，F是单射。
步骤 5：证明C[a,b]的基数为c
由于F是满射和单射，因此F是一个双射。这意味着C[a,b]和[0,1]之间存在一个一一对应的关系。由于[0,1]的基数为c，因此C[a,b]的基数也为c。
定义[a,b]上的全体连续函数组成的集合为C[a,b]。我们需要证明这个集合的基数为c，即实数集的基数。
步骤 2：构造从C[a,b]到[0,1]的映射
构造一个从C[a,b]到[0,1]的映射。考虑[a,b]上的全体连续函数f(x)，我们可以定义一个映射F，使得F(f) = f(c)，其中c是[a,b]上的某个固定点。这样，F将C[a,b]中的每个函数映射到[0,1]中的一个值。
步骤 3：证明映射F是满射
为了证明F是满射，我们需要证明对于[0,1]中的每个值y，都存在一个连续函数f(x)使得F(f) = y。考虑一个常数函数f(x) = y，显然f(x)是连续的，且F(f) = y。因此，F是满射。
步骤 4：证明映射F是单射
为了证明F是单射，我们需要证明对于C[a,b]中的任意两个不同的函数f(x)和g(x)，都有F(f) ≠ F(g)。假设存在两个不同的函数f(x)和g(x)，使得F(f) = F(g)。这意味着f(c) = g(c)。但是，由于f(x)和g(x)是不同的连续函数，它们在[a,b]上的取值不可能完全相同。因此，F是单射。
步骤 5：证明C[a,b]的基数为c
由于F是满射和单射，因此F是一个双射。这意味着C[a,b]和[0,1]之间存在一个一一对应的关系。由于[0,1]的基数为c，因此C[a,b]的基数也为c。