题目
14.填空题设f(x,y)是连续函数，交换二次积分的顺序int_(0)^1dxint_(x)^1f(x,y)dy=____.
14.填空题
设f(x,y)是连续函数，交换二次积分的顺序
$\int_{0}^{1}dx\int_{x}^{1}f(x,y)dy=$____.
题目解答
答案
原积分区域为 $D = \{(x, y) \mid 0 \le x \le 1, x \le y \le 1\}$。
交换积分顺序后，区域变为 $D = \{(x, y) \mid 0 \le y \le 1, 0 \le x \le y\}$。
因此，积分变为：
\[
\boxed{\int_{0}^{1}dy \int_{0}^{y}f(x,y)dx}
\]
解析
步骤 1：确定原积分区域
原积分区域为 $D = \{(x, y) \mid 0 \le x \le 1, x \le y \le 1\}$。这意味着 $x$ 的取值范围是 $[0, 1]$，而 $y$ 的取值范围是 $[x, 1]$。
步骤 2：交换积分顺序
交换积分顺序后，需要重新确定积分区域。根据原积分区域，$y$ 的取值范围是 $[0, 1]$，而 $x$ 的取值范围是 $[0, y]$。因此，新的积分区域为 $D = \{(x, y) \mid 0 \le y \le 1, 0 \le x \le y\}$。
步骤 3：写出交换顺序后的积分表达式
根据新的积分区域，交换顺序后的积分表达式为 $\int_{0}^{1}dy \int_{0}^{y}f(x,y)dx$。
原积分区域为 $D = \{(x, y) \mid 0 \le x \le 1, x \le y \le 1\}$。这意味着 $x$ 的取值范围是 $[0, 1]$，而 $y$ 的取值范围是 $[x, 1]$。
步骤 2：交换积分顺序
交换积分顺序后，需要重新确定积分区域。根据原积分区域，$y$ 的取值范围是 $[0, 1]$，而 $x$ 的取值范围是 $[0, y]$。因此，新的积分区域为 $D = \{(x, y) \mid 0 \le y \le 1, 0 \le x \le y\}$。
步骤 3：写出交换顺序后的积分表达式
根据新的积分区域，交换顺序后的积分表达式为 $\int_{0}^{1}dy \int_{0}^{y}f(x,y)dx$。