如图,一超音速歼击机在高空 A 时的水平速率为1940 km/h,沿近似于圆弧的曲线俯冲到点B,其速率为2192 km/h,所经历的时间为3s,设圆弧 AB的半径约为3、5km,且飞机从A 到B 的俯冲过程可视为匀变速率圆周运动,若不计重力加速度的影响,求:(1)飞机在点B 的加速度;(2)飞机由点A 到点B 所经历的路程。

考查要点：本题主要考查匀变速率圆周运动中加速度的计算及路程的求解，涉及速度单位转换、切向加速度与法向加速度的分解、矢量合成等知识点。

解题核心思路：

1. 加速度分解：匀变速率圆周运动中，加速度分为切向加速度（恒定）和法向加速度（随速度变化）。需分别计算两部分后合成。
2. 路程计算：利用匀变速运动的平均速度公式或运动学公式直接求解。

破题关键点：

• 单位统一：将速度从km/h转换为m/s，半径从km转换为m。
• 切向加速度公式：$a_t = \frac{\Delta v}{\Delta t}$。
• 法向加速度公式：$a_n = \frac{v^2}{r}$。
• 路程公式：匀变速运动中，$s = \frac{v_A + v_B}{2} \cdot t$。

第（1）题：求飞机在点B的加速度

单位转换

• 初始速度 $v_A = 1940 \, \text{km/h} = \frac{1940 \times 1000}{3600} \approx 538.89 \, \text{m/s}$
• 末速度 $v_B = 2192 \, \text{km/h} = \frac{2192 \times 1000}{3600} \approx 608.89 \, \text{m/s}$
• 半径 $r = 3.5 \, \text{km} = 3500 \, \text{m}$
• 时间 $t = 3 \, \text{s}$

切向加速度计算

$a_t = \frac{v_B - v_A}{t} = \frac{608.89 - 538.89}{3} \approx 23.33 \, \text{m/s}^2$

法向加速度计算

$a_n = \frac{v_B^2}{r} = \frac{608.89^2}{3500} \approx 105.92 \, \text{m/s}^2$

总加速度合成

• 大小：
  $a = \sqrt{a_t^2 + a_n^2} = \sqrt{23.33^2 + 105.92^2} \approx 109 \, \text{m/s}^2$
• 方向（与法向夹角）：
  $\theta = \arctan\left(\frac{a_t}{a_n}\right) = \arctan\left(\frac{23.33}{105.92}\right) \approx 12.4^\circ$

第（2）题：求飞机由A到B的路程

平均速度法

$s = \frac{v_A + v_B}{2} \cdot t = \frac{538.89 + 608.89}{2} \cdot 3 \approx 1722 \, \text{m}$