题目
(3)(2024·新课标I)若曲线y=e^x+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线，则a=_____.
(3)(2024·新课标I)若曲线$y=e^{x}+x$在点(0,1)处的切线也是曲线$y=\ln(x+1)+a$的切线，则a=_____.
题目解答
答案
1. **求切线斜率**：
对 $ y = e^x + x $ 求导得 $ y' = e^x + 1 $，在点 $(0,1)$ 处斜率 $ k = e^0 + 1 = 2 $。
切线方程为 $ y = 2x + 1 $。
2. **确定切点**：
设切点为 $(x_0, y_0)$，对 $ y = \ln(x+1) + a $ 求导得 $ y' = \frac{1}{x+1} $。
由斜率相等得 $ \frac{1}{x_0 + 1} = 2 $，解得 $ x_0 = -\frac{1}{2} $。
代入切线得 $ y_0 = 2 \times \left(-\frac{1}{2}\right) + 1 = 0 $，切点为 $\left(-\frac{1}{2}, 0\right)$。
3. **求 $ a $**：
将切点代入曲线方程得 $ 0 = \ln\left(\frac{1}{2}\right) + a $，解得 $ a = -\ln\left(\frac{1}{2}\right) = \ln 2 $。
**答案**：$\boxed{\ln 2}$
解析
考查要点：本题主要考查导数的几何意义，即利用导数求曲线在某点处的切线方程，以及两条曲线公切线的存在条件。
解题核心思路：
- 求出第一条曲线在指定点的切线方程：通过求导得到斜率，再用点斜式写出切线方程。
- 确定该切线与第二条曲线相切的条件：切线与第二条曲线有唯一公共点，且在该点处斜率相等。
- 联立方程求解参数：通过切点坐标满足第二条曲线方程和切线方程，结合导数条件解出参数$a$。
破题关键点：
- 导数计算：正确求出两条曲线的导数，确定切线斜率。
- 联立方程：利用切线斜率相等和切点坐标满足两个方程的条件，建立方程组求解。
步骤1：求第一条曲线在点$(0,1)$处的切线方程
- 求导：对$y = e^x + x$求导，得$y' = e^x + 1$。
- 求斜率：在$x=0$处，斜率为$k = e^0 + 1 = 2$。
- 写切线方程：用点斜式$y - 1 = 2(x - 0)$，得$y = 2x + 1$。
步骤2：确定切线与第二条曲线相切的条件
- 设切点：设切点为$(x_0, y_0)$，该点在第二条曲线$y = \ln(x+1) + a$上，且在切线$y = 2x + 1$上。
- 斜率相等：对第二条曲线求导，得$y' = \frac{1}{x+1}$。令$\frac{1}{x_0 + 1} = 2$，解得$x_0 = -\frac{1}{2}$。
- 求切点坐标：代入切线方程，得$y_0 = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + 1 = 0$，即切点为$\left(-\frac{1}{2}, 0\right)$。
步骤3：求参数$a$
将切点代入第二条曲线方程：
$0 = \ln\left(-\frac{1}{2} + 1\right) + a \implies 0 = \ln\left(\frac{1}{2}\right) + a.$
解得：
$a = -\ln\left(\frac{1}{2}\right) = \ln 2.$