题目

填空题（共15题，30.0分）37.（2.0分）函数g(x)=arcsin(2x-1)的定义域为____第一空

填空题（共15题，30.0分） 37.（2.0分）函数$g(x)=\arcsin(2x-1)$的定义域为____ 第一空

题目解答

答案

函数 $ g(x) = \arcsin(2x-1) $ 的定义域需满足参数 $ 2x-1 $ 在 $[-1, 1]$ 内。解不等式： \[ -1 \leq 2x-1 \leq 1 \] 得： \[ 0 \leq x \leq 1 \] 因此，定义域为 $\boxed{[0, 1]}$。

解析

关键知识点：反三角函数$\arcsin(u)$的定义域要求参数$u$满足$-1 \leq u \leq 1$。因此，本题需将$2x-1$代入该范围，解不等式求$x$的取值范围。

解题核心思路：通过建立不等式$-1 \leq 2x-1 \leq 1$，逐步求解$x$的范围，最终确定函数的定义域。

  1. 建立不等式
    根据$\arcsin(u)$的定义域要求，参数$2x-1$需满足：
    $-1 \leq 2x-1 \leq 1$

  2. 分步解不等式

    • 左半部分：$-1 \leq 2x-1$
      两边加$1$得：
      $0 \leq 2x$
      两边除以$2$得：
      $0 \leq x$
    • 右半部分：$2x-1 \leq 1$
      两边加$1$得：
      $2x \leq 2$
      两边除以$2$得：
      $x \leq 1$

  3. 综合结果
    结合两个不等式的解，得到$x$的取值范围为：
    $0 \leq x \leq 1$
    即定义域为闭区间$[0, 1]$。