题目
7.设A为三阶矩阵,已知 |((2A))^-1|=dfrac (1)(2), 则 |A|= __ ;
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解已知条件
已知 $|{(2A)}^{-1}|=\dfrac {1}{2}$，其中 $A$ 是一个三阶矩阵。我们需要找到 $|A|$ 的值。
步骤 2：利用矩阵的性质
我们知道，对于任意可逆矩阵 $B$，有 $|B^{-1}| = \dfrac{1}{|B|}$。因此，$|{(2A)}^{-1}| = \dfrac{1}{|2A|}$。
步骤 3：计算 $|2A|$
根据已知条件，$|{(2A)}^{-1}| = \dfrac{1}{2}$，所以 $\dfrac{1}{|2A|} = \dfrac{1}{2}$，从而 $|2A| = 2$。
步骤 4：利用矩阵的标量乘法性质
对于任意矩阵 $A$ 和标量 $k$，有 $|kA| = k^n|A|$，其中 $n$ 是矩阵的阶数。因为 $A$ 是三阶矩阵，所以 $|2A| = 2^3|A| = 8|A|$。
步骤 5：求解 $|A|$
根据步骤 4，我们有 $8|A| = 2$，从而 $|A| = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}$。
已知 $|{(2A)}^{-1}|=\dfrac {1}{2}$，其中 $A$ 是一个三阶矩阵。我们需要找到 $|A|$ 的值。
步骤 2：利用矩阵的性质
我们知道，对于任意可逆矩阵 $B$，有 $|B^{-1}| = \dfrac{1}{|B|}$。因此，$|{(2A)}^{-1}| = \dfrac{1}{|2A|}$。
步骤 3：计算 $|2A|$
根据已知条件，$|{(2A)}^{-1}| = \dfrac{1}{2}$，所以 $\dfrac{1}{|2A|} = \dfrac{1}{2}$，从而 $|2A| = 2$。
步骤 4：利用矩阵的标量乘法性质
对于任意矩阵 $A$ 和标量 $k$，有 $|kA| = k^n|A|$，其中 $n$ 是矩阵的阶数。因为 $A$ 是三阶矩阵，所以 $|2A| = 2^3|A| = 8|A|$。
步骤 5：求解 $|A|$
根据步骤 4，我们有 $8|A| = 2$，从而 $|A| = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}$。