图示为一个均匀带电的球层,其电荷体密度为,球层内表面半径为R1,外表面半径为R2.设无穷远处为电势零点,求空腔内任一点的电势.

步骤 1：确定电场分布
由高斯定理可知，均匀带电球层内部的电场强度为零，即空腔内电场强度为零。因此，空腔内为等势区，各点电势相等。

步骤 2：计算球层在球心处产生的电势
在球层内取半径为r→r+dr的薄球层，其电荷为dq = 4πr²dr。该薄层电荷在球心处产生的电势为
$$dU = \frac{dq}{4\pi \varepsilon_0 r} = \frac{\rho r^2 dr}{\varepsilon_0 r} = \frac{\rho r dr}{\varepsilon_0}$$
整个带电球层在球心处产生的电势为
$$U_0 = \int dU = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \int_{R_1}^{R_2} r dr = \frac{\rho}{2\varepsilon_0} (R_2^2 - R_1^2)$$

步骤 3：确定空腔内任一点的电势
由于空腔内为等势区，所以空腔内任一点的电势U等于球心处的电势U0。