题目
设有2个同样的箱子，第一箱中有10个球，其中8个白球和2个黑球．第二箱中有20个球，其中4个白球和16个黑球．现在从2箱子中任取1个箱子，从中任取1球，求取到白球的概率．
设有2个同样的箱子，第一箱中有10个球，其中8个白球和2个黑球．第二箱中有20个球，其中4个白球和16个黑球．现在从2箱子中任取1个箱子，从中任取1球，求取到白球的概率．
题目解答
答案
解：设Ai={已取出的球来自第i箱}，其中i=1，2，B={取到白球}，则P（Ai）=$\frac{1}{2}$（i=1，2），
所以P（B|A1）=$\frac{8}{10}$=$\frac{4}{5}$，P（B|A2）=$\frac{4}{20}$=$\frac{1}{5}$，
所以P（B）=P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{5}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{5}$=$\frac{1}{2}$．
所以P（B|A1）=$\frac{8}{10}$=$\frac{4}{5}$，P（B|A2）=$\frac{4}{20}$=$\frac{1}{5}$，
所以P（B）=P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{5}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{5}$=$\frac{1}{2}$．
解析
步骤 1：定义事件
设A_1={已取出的球来自第1箱}，A_2={已取出的球来自第2箱}，B={取到白球}。
步骤 2：计算事件A_1和A_2的概率
因为从两个箱子中任取一个箱子，所以P(A_1) = P(A_2) = $\frac{1}{2}$。
步骤 3：计算条件概率P(B|A_1)和P(B|A_2)
P(B|A_1)表示在已知球来自第1箱的条件下，取到白球的概率。因为第1箱中有8个白球和2个黑球，所以P(B|A_1) = $\frac{8}{10}$ = $\frac{4}{5}$。
P(B|A_2)表示在已知球来自第2箱的条件下，取到白球的概率。因为第2箱中有4个白球和16个黑球，所以P(B|A_2) = $\frac{4}{20}$ = $\frac{1}{5}$。
步骤 4：应用全概率公式计算P(B)
根据全概率公式，P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) = $\frac{1}{2}$×$\frac{4}{5}$ + $\frac{1}{2}$×$\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{2}$。
设A_1={已取出的球来自第1箱}，A_2={已取出的球来自第2箱}，B={取到白球}。
步骤 2：计算事件A_1和A_2的概率
因为从两个箱子中任取一个箱子，所以P(A_1) = P(A_2) = $\frac{1}{2}$。
步骤 3：计算条件概率P(B|A_1)和P(B|A_2)
P(B|A_1)表示在已知球来自第1箱的条件下，取到白球的概率。因为第1箱中有8个白球和2个黑球，所以P(B|A_1) = $\frac{8}{10}$ = $\frac{4}{5}$。
P(B|A_2)表示在已知球来自第2箱的条件下，取到白球的概率。因为第2箱中有4个白球和16个黑球，所以P(B|A_2) = $\frac{4}{20}$ = $\frac{1}{5}$。
步骤 4：应用全概率公式计算P(B)
根据全概率公式，P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) = $\frac{1}{2}$×$\frac{4}{5}$ + $\frac{1}{2}$×$\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{2}$。