63、求极限lim _(narrow infty )dfrac ({5)^n-(3)^n}({5)^n+(2)^n}

考查要点：本题主要考查指数函数的极限性质，特别是当底数大于1时，随着n趋向于无穷大，指数函数的增长速度差异。

解题核心思路：
当n趋向于无穷大时，底数最大的指数项会主导整个表达式。因此，分子中的$5^n$和分母中的$5^n$是主导项，其他项（如$3^n$和$2^n$）的影响可以忽略。通过将分子和分母同时除以$5^n$，可以将原式转化为更简单的形式，进而求出极限。

破题关键点：

1. 识别主导项：比较分子和分母中的指数项，确定$5^n$是主导项。
2. 变形化简：通过除以$5^n$，将原式转化为关于$(3/5)^n$和$(2/5)^n$的形式，利用绝对值小于1的数的幂次趋向于0的性质求解。

步骤1：提取主导项
将分子和分母同时除以$5^n$：
$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {5^n -3^n}{5^n +2^n} = \lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac{1 - \left(\dfrac{3}{5}\right)^n}{1 + \left(\dfrac{2}{5}\right)^n}$

步骤2：分析剩余项的极限

• $\dfrac{3}{5} < 1$，因此$\left(\dfrac{3}{5}\right)^n \rightarrow 0$（当$n \rightarrow \infty$）。
• $\dfrac{2}{5} < 1$，因此$\left(\dfrac{2}{5}\right)^n \rightarrow 0$（当$n \rightarrow \infty$）。

步骤3：代入极限值
将上述结果代入化简后的表达式：
$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac{1 - 0}{1 + 0} = 1$