四、(7分)已知随机变量X的密度为 f(x)= ) ax+b, 0lt xlt 1 0, =5/8,-|||-求:(1)常数a,b的值;(2)随机变量X的分布函数F(x );

步骤 1：确定概率密度函数的归一化条件
由于f(x)是概率密度函数，因此它必须满足归一化条件，即在整个定义域上的积分等于1。因此，我们有：
$$
\int_{0}^{1} (ax + b) dx = 1
$$
步骤 2：计算积分
计算上述积分，我们得到：
$$
\int_{0}^{1} (ax + b) dx = \left[ \frac{a}{2}x^2 + bx \right]_{0}^{1} = \frac{a}{2} + b = 1
$$
步骤 3：利用给定的概率条件
根据题目条件，我们有：
$$
P\{ x > 1/2 \} = \int_{1/2}^{1} (ax + b) dx = \frac{5}{8}
$$
计算上述积分，我们得到：
$$
\int_{1/2}^{1} (ax + b) dx = \left[ \frac{a}{2}x^2 + bx \right]_{1/2}^{1} = \frac{a}{2} + b - \left( \frac{a}{8} + \frac{b}{2} \right) = \frac{3a}{8} + \frac{b}{2} = \frac{5}{8}
$$
步骤 4：解方程组
现在我们有两个方程：
$$
\frac{a}{2} + b = 1
$$
$$
\frac{3a}{8} + \frac{b}{2} = \frac{5}{8}
$$
解这个方程组，我们得到：
$$
a = 1, \quad b = \frac{1}{2}
$$
步骤 5：计算分布函数
分布函数F(x)定义为：
$$
F(x) = P\{ X \leq x \} = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt
$$
根据f(x)的定义，我们有：
$$
F(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
0, & x < 0 \\
\int_{0}^{x} (t + \frac{1}{2}) dt = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x, & 0 \leq x < 1 \\
1, & x \geq 1
\end{array}
\right.
$$