题目
求指导本题解题过程，谢谢您！2 [判断题]已知向量组α1,α2,α3线性无关,则向量组 _(1)=(alpha )_(1)-(alpha )_(2), _(2)=2(a)_(2)+(a)_(3),-|||-_(3)=(alpha )_(1)+(alpha )_(2)+(alpha )_(3) 线性相关.()(10.0分)
求指导本题解题过程，谢谢您！
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义向量组
定义向量组 ${Y}_{1}={\alpha }_{1}-{\alpha }_{2}$, ${Y}_{2}=2{\alpha }_{2}+{\alpha }_{3}$, ${Y}_{3}={\alpha }_{1}+{\alpha }_{2}+{\alpha }_{3}$，其中 ${\alpha }_{1}$, ${\alpha }_{2}$, ${\alpha }_{3}$ 线性无关。
步骤 2：线性组合
假设存在一组数 ${k}_{1}$, ${k}_{2}$, ${k}_{3}$ 使得 ${k}_{1}{Y}_{1}+{k}_{2}{Y}_{2}+{k}_{3}{Y}_{3}=0$，即 ${k}_{1}({\alpha }_{1}-{\alpha }_{2})+{k}_{2}(2{\alpha }_{2}+{\alpha }_{3})+{k}_{3}({\alpha }_{1}+{\alpha }_{2}+{\alpha }_{3})=0$。
步骤 3：展开并整理
将上述表达式展开并整理，得到：$({k}_{1}+{k}_{3}){\alpha }_{1}+(-{k}_{1}+2{k}_{2}+{k}_{3}){\alpha }_{2}+({k}_{2}+{k}_{3}){\alpha }_{3}=0$。
步骤 4：线性无关条件
由于 ${\alpha }_{1}$, ${\alpha }_{2}$, ${\alpha }_{3}$ 线性无关，因此上述表达式成立的充要条件是系数为零，即 $\left \{ \begin{matrix} {k}_{1}+{k}_{3}=0\\ -{k}_{1}+2{k}_{2}+{k}_{3}=0\\ {k}_{2}+{k}_{3}=0\end{matrix} \right.$。
步骤 5：求解方程组
解上述方程组，得到 ${k}_{1}=-1$, ${k}_{2}=-1$, ${k}_{3}=1$，说明存在非零解，因此 ${Y}_{1}$, ${Y}_{2}$, ${Y}_{3}$ 线性相关。
定义向量组 ${Y}_{1}={\alpha }_{1}-{\alpha }_{2}$, ${Y}_{2}=2{\alpha }_{2}+{\alpha }_{3}$, ${Y}_{3}={\alpha }_{1}+{\alpha }_{2}+{\alpha }_{3}$，其中 ${\alpha }_{1}$, ${\alpha }_{2}$, ${\alpha }_{3}$ 线性无关。
步骤 2：线性组合
假设存在一组数 ${k}_{1}$, ${k}_{2}$, ${k}_{3}$ 使得 ${k}_{1}{Y}_{1}+{k}_{2}{Y}_{2}+{k}_{3}{Y}_{3}=0$，即 ${k}_{1}({\alpha }_{1}-{\alpha }_{2})+{k}_{2}(2{\alpha }_{2}+{\alpha }_{3})+{k}_{3}({\alpha }_{1}+{\alpha }_{2}+{\alpha }_{3})=0$。
步骤 3：展开并整理
将上述表达式展开并整理，得到：$({k}_{1}+{k}_{3}){\alpha }_{1}+(-{k}_{1}+2{k}_{2}+{k}_{3}){\alpha }_{2}+({k}_{2}+{k}_{3}){\alpha }_{3}=0$。
步骤 4：线性无关条件
由于 ${\alpha }_{1}$, ${\alpha }_{2}$, ${\alpha }_{3}$ 线性无关，因此上述表达式成立的充要条件是系数为零，即 $\left \{ \begin{matrix} {k}_{1}+{k}_{3}=0\\ -{k}_{1}+2{k}_{2}+{k}_{3}=0\\ {k}_{2}+{k}_{3}=0\end{matrix} \right.$。
步骤 5：求解方程组
解上述方程组，得到 ${k}_{1}=-1$, ${k}_{2}=-1$, ${k}_{3}=1$，说明存在非零解，因此 ${Y}_{1}$, ${Y}_{2}$, ${Y}_{3}$ 线性相关。