设 z = e^u sin v，而 u = xy，v = x + y，求 (partial z)/(partial x) 和 (partial z)/(partial y) = ( ).A. (partial z)/(partial x) = e^xy [ y sin(x + y) + cos(x + y) ], (partial z)/(partial y) = e^xy [ x sin(x + y) + cos(x + y) ]B. (partial z)/(partial x) = e^xy [ x sin(x + y) + cos(x + y) ], (partial z)/(partial y) = e^xy [ y sin(x + y) + cos(x + y) ]

这是一道关于多元复合函数求偏导数的题目。我们需要利用链式法则来计算 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$。

已知条件：

• $z = e^u \sin v$
• $u = xy$
• $v = x + y$

推理过程：

1. 计算 $\frac{\partial z}{\partial x}$
根据多元复合函数的链式求导法则，$z$ 对 $x$ 的偏导数可以表示为：
$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}$

首先，我们分别计算所需的各个偏导数：

• $z$ 对 $u$ 的偏导数：$\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial}{\partial u}(e^u \sin v) = e^u \sin v$
• $u$ 对 $x$ 的偏导数：$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(xy) = y$
• $z$ 对 $v$ 的偏导数：$\frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial}{\partial v}(e^u \sin v) = e^u \cos v$
• $v$ 对 $x$ 的偏导数：$\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x + y) = 1$

将这些结果代入链式法则公式中：
$\frac{\partial z}{\partial x} = (e^u \sin v) \cdot y + (e^u \cos v) \cdot 1 = y e^u \sin v + e^u \cos v$

最后，将 $u = xy$ 和 $v = x + y$ 代回上式：
$\frac{\partial z}{\partial x} = y e^{xy} \sin(x + y) + e^{xy} \cos(x + y)$
提取公因式 $e^{xy}$：
$\frac{\partial z}{\partial x} = e^{xy} [y \sin(x + y) + \cos(x + y)]$

2. 计算 $\frac{\partial z}{\partial y}$
同样地，根据链式法则，$z$ 对 $y$ 的偏导数为：
$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y}$

计算所需的偏导数：

• $\frac{\partial z}{\partial u} = e^u \sin v$ （同上）
• $u$ 对 $y$ 的偏导数：$\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(xy) = x$
• $\frac{\partial z}{\partial v} = e^u \cos v$ （同上）
• $v$ 对 $y$ 的偏导数：$\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x + y) = 1$

代入链式法则公式中：
$\frac{\partial z}{\partial y} = (e^u \sin v) \cdot x + (e^u \cos v) \cdot 1 = x e^u \sin v + e^u \cos v$

将 $u = xy$ 和 $v = x + y$ 代回：
$\frac{\partial z}{\partial y} = x e^{xy} \sin(x + y) + e^{xy} \cos(x + y)$
提取公因式 $e^{xy}$：
$\frac{\partial z}{\partial y} = e^{xy} [x \sin(x + y) + \cos(x + y)]$

结论：
经过计算，我们得到：
$\frac{\partial z}{\partial x} = e^{xy} [y \sin(x + y) + \cos(x + y)]$
$\frac{\partial z}{\partial y} = e^{xy} [x \sin(x + y) + \cos(x + y)]$

对比题目给出的选项，选项 A 的结果与我们计算的结果完全一致。

因此，正确答案是 A。