题目
6.设f(x)在[0,1]上有二阶导数，且f'(x)>0，f''(x)>0，f(0)=0， 取x_(i)in(0,1)，数列(x_{n)}满足(x_(n+1)-x_(n))f'(x_(n))+f(x_(n))=0(n=1,2,···)， 证明：lim_(ntoinfty)x_(n)存在，并求其值.
6.设f(x)在[0,1]上有二阶导数，且f'(x)>0，f''(x)>0，f(0)=0， 取x$_{i}$$\in$(0,1)，数列{x$_{n}$}满足(x$_{n+1}$-x$_{n}$)f'(x$_{n}$)+f(x$_{n}$)=0(n=1,2,···)， 证明：$\lim_{n\to\infty}x_{n}$存在，并求其值.
题目解答
答案
由题设条件，$ f(x) $ 在 $[0,1]$ 上有二阶导数，且 $ f'(x) > 0 $，$ f''(x) > 0 $，$ f(0) = 0 $。数列 $\{x_n\}$ 满足：
\[
(x_{n+1} - x_n) f'(x_n) + f(x_n) = 0
\]
解得：
\[
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
\]
由于 $ f(x) $ 单调递增且 $ f(0) = 0 $，对 $ x \in (0,1] $，有 $ f(x) > 0 $。由 $ f'(x) > 0 $，得：
\[
x_{n+1} < x_n, \quad x_{n+1} > 0
\]
即 $\{x_n\}$ 单调递减且有下界0，故极限存在。设 $\lim x_n = L$，则：
\[
\lim \left[ (x_{n+1} - x_n) f'(x_n) + f(x_n) \right] = 0 \implies f(L) = 0
\]
由 $ f $ 的单调性，唯一解为 $ L = 0 $。因此，极限为：
\[
\boxed{0}
\]
解析
考查要点：本题主要考查数列极限的存在性证明及利用函数性质求解极限值。关键点在于利用函数的单调性、凸性分析数列的单调性和有界性，进而结合极限方程求解。
解题思路：
- 递推式变形：将递推关系式变形为类似牛顿迭代法的形式，明确数列的递推规律。
- 单调性与有界性：通过分析函数$f(x)$的单调性和导数符号，证明数列$\{x_n\}$单调递减且有下界$0$，从而保证极限存在。
- 极限方程求解：利用极限的保号性及函数$f(x)$的单调性，确定极限值为$f(x)=0$的唯一解。
破题关键：
- 函数性质：$f(x)$在$[0,1]$上严格递增且严格凸，导致$f(x)>0$（$x>0$时）。
- 数列性质：通过递推式推导出$x_{n+1} < x_n$且$x_{n} > 0$，结合单调收敛定理证明极限存在。
- 极限方程：极限$L$满足$f(L)=0$，结合$f(x)$的单调性唯一确定$L=0$。
递推式变形
由题设递推关系：
$(x_{n+1} - x_n)f'(x_n) + f(x_n) = 0$
解得：
$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$
数列单调性与有界性
-
单调性：
由于$f(x_n) > 0$（$x_n \in (0,1]$时）且$f'(x_n) > 0$，故：
$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} < x_n$
因此，$\{x_n\}$单调递减。 -
有下界：
假设$x_n > 0$，则：
$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$
由$f(x)$的凸性（$f''(x) > 0$），可证$f(x)/f'(x) < x$（具体推导略），故$x_{n+1} > 0$。
综上，$\{x_n\}$单调递减且下界为$0$，极限存在。
极限值求解
设$\lim_{n \to \infty} x_n = L$，则递推式两边取极限得：
$0 \cdot f'(L) + f(L) = 0 \implies f(L) = 0$
由于$f(x)$在$[0,1]$上严格递增且$f(0)=0$，唯一解为$L=0$。